Giải thích các bước giải:
Bài 1:
1.Xét $\Delta AMB,\Delta AMC$ có:
Chung $AM$
$AB=AC$
$MB=MC$
$\to\Delta AMB=\Delta AMC(c.c.c)$
$\to \widehat{AMB}=\widehat{AMC}$
Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o$
$\to \widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^o$
$\to AM\perp BC$
Vì $M$ là trung điểm $BC\to MB=MC=\dfrac12BC=6$
$\to AM^2=AB^2-BM^2=64$
$\to AM=8$
2.Từ câu a $\to \widehat{BAM}=\widehat{CAM}$
$\to \widehat{EAM}=\widehat{FAM}$
Xét $\Delta AME,\Delta AMF$ có:
$\widehat{AEM}=\widehat{AFM}(=90^o)$
Chung $AM$
$ \widehat{EAM}=\widehat{FAM}$
$\to\Delta AEM=\Delta AFM$ (cạnh huyền-góc nhọn)
$\to ME=MF$
Xét $\Delta MEB,\Delta MFC$ có:
$MB=MC$
$\widehat{MEB}=\widehat{MFC}(=90^o)$
$ME=MF$
$\to \Delta MEB=\Delta MFC$(cạnh huyền-góc nhọn)
3.Từ câu b $\to AE=AF, ME=MF$
$\to A, M\in$ trung trực của $EF$
$\to AM$ là trung trực $EF$
4.Ta có $AM$ là trung trực $EF$
$\to AM\perp EF$
Mà $AM\perp BC$
$\to EF//BC$
5.Trên tia đối của tia $OE$ lấy $E'$ sao cho $OE=OE'$
Xét $\Delta OAE', \Delta OEM$ có:
$OA=OM$
$\widehat{AOE'}=\widehat{EOM}$
$OE=OE'$
$\to\Delta OAE'=\Delta OEM(c.g.c)$
$\to AE'=EM, \widehat{OAE'}=\widehat{OME}\to AE'//ME$
Mà $ME\perp AE\to AE'\perp AE$
$\to EE'^2=AE'^2+AE^2=EM^2+AE^2=AM^2$
$\to EE'=AM$
$\to OE=OE'=\dfrac12EE'=\dfrac12AM=OA=OM$
$\to OE=OA=OM$
Tương tự chứng minh được $OF=OA=OM$
$\to OA=OM=OE=OF$
$\to A, E, M, F$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính $AO$
6.Ta có: $DB\perp AB, CD\perp AC$
$\to DB^2=AD^2-AB^2=AD^2-AC^2=CD^2$
$\to DB=DC$
Mà $AB=AC, MB=MC$
$\to A, M, D\in$ trung trực của $BC$
$\to A, M, D$ thẳng hàng
7.Vì $A, M, D$ thẳng hàng $, AM\perp BC\to BM\perp MD$
Ta có $ME\perp AB, BM\perp MD$
$\to ME<MB<BD$
$\to ME<BD$
Bài 2:
a.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$
$\to BC^2=AB^2+AC^2$
$\to AC^2=BC^2-AB^2=27$
$\to AC=3\sqrt{3}$
b.Ta có $CA\perp BD$ tại $A$ mà $AB=AD$
$\to \Delta CBD$ có đường cao đồng thời là trung tuyến
$\to\Delta CBD$ cân
Mà $\Delta ABC$ vuông tại $A, AB=\dfrac12BC$
$\to\Delta ABC$ là nửa tam giác đều
$\to \hat B=60^o$
$\to\Delta BCD$ đều
