`\text{a)}`
Xét `\Delta AHB` vuông tại `H` và `\Delta AHC` vuông tại `H` có :
`AB = AC ( \text{gt} )`
`AH` _ cạnh chung
`=> \Delta AHB = \Delta AHC ( \text{ch - cgv} )`
`-> \hat{HAB} =\hat{HAC}` ( cạnh tương ứng )
`\text{b)}`
Ta có :
`\Delta ABC` là `\Delta` cân
`=> \hat{A} = 180^o - 2\hat{B}`
`=> 1/2\hat{A} = 90^o - \hat{B}`
`=> \hat{HAB} = 90^o - \hat{ABC}`
Vì `DH \text{//} AC`
`-> \hat{DHC} = \hat{C}` (`2` góc đồng vị )
`-> 90^o + \hat{DHA} = \hat{C}`
`-> \hat{DHA} = 90^o - \hat{ACB}`
Mà `\Delta ABC` là `\Delta` cân `-> \hat{ABC} = \hat{ACB}`
`=> \hat{HAB} = \hat{DHA}`
`=> \Delta ADH` là `\Delta` cân tại `D`
`-> AD = DH`
`\text{c)}`
$*$
Vì `E` là trung điểm của `AC`
`-> AE = EC`
Ta có : `BG ∩ AC = {E}`
`-> BE ` là đường trung tuyến tương ứng với cạnh `BC`
`-> BG = 2/3BE`
`=> B ; G ; E` thẳng hàng
$*$
Trên tia đối của `BE` lấy điểm `L` sao cho `BE = EF`
Vì `G` là trọng tâm của `\Delta ABC`
`=> BG = 2/3BE`
`-> 3BG = 2BE`
Ta có :
`2BE = BE + BE = BE + EF = BF`
Xét `\Delta AEF` và `\Delta BEC` có :
`AE = EC ( \text{gt})`
`\hat{AEF} = \hat{BEC}`
`BE = EF (cmt)`
`=> \Delta AEF = \Delta CEB ( c . g .c )`
`-> AF = BC` ( cạnh tương ứng )
Xét `\Delta ABH` vuông tại `H` có :
`AB > AH` ( cạnh huyền là lớn nhất )
`-> AH + 3BG = AH + 2BE < BF + AB` `(1)`
Áp dụng BĐT `\Delta` :
`BA + AF > BF`
Ta có :
`P_{ \Delta ABC} = AB + AC + BC = (AB + BC) + AC = (BA + AF) + CA > BF + CA = BF + AB` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)`
`=>AB + AC + BC > AH + 3BG`
