Đáp án:
`a,`
Trên tia đối của `AD` lấy `M` sao cho `AD = DM`
Có : `AD = DM` (cách dựng)
`-> D` là trung điểm của `AM`
`-> AD = 1/2 AM`
`-> AM = 2AD`
$\\$
Xét `ΔADC` và `ΔMDB` có :
`hat{ADC} = hat{MDB}` (2 góc đối đỉnh)
`BD = CD` (Do `AD` là đường trung tuyến)
`AD = DM` (cách dựng)
`-> ΔADC = ΔMDB` (cạnh - góc - cạnh)
`-> BM = AC` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔABM` có :
`AB + BM > AM`
mà `BM = AC` (chứng minh trên), `AM = 2 AD` (chứng minh trên)
`-> AB + AC > 2AD`
`-> AD < (AB + AC)/2`
$\\$
$\\$
$b,$
Xét `ΔABC` có :
`BE` là đường trung tuyến
`CF` là đường trung tuyến
`BE` cắt `CF` tại `G`
`-> G` là trọng tâm của `ΔABC`
$\\$
Do `G` là trọng tâm của `ΔABC`
mà `CF` là đường trung tuyến, `BE` là đường trung tuyến
`->` \(\left\{ \begin{array}{l}BG = \dfrac{2}{3}BE\\CG=\dfrac{2}{3}CF\end{array} \right.\)
$\\$
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔBGC` có :
`BG + CG > BC`
mà \(\left\{ \begin{array}{l}BG = \dfrac{2}{3}BE\\CG=\dfrac{2}{3}CF\end{array} \right.\) (chứng minh trên)
`-> 2/3 CF + 2/3 BE > BC`
`-> 2/3 (BE + CF) > BC`
`-> BE + CF > 3/2 BC`
$\\$
$\\$
$c,$
Có : `BE + CF > 3/2 BC` (chứng minh trên)
Chứng minh tương tự có :
`->` \(\left\{ \begin{array}{l}AD + BE> \dfrac{3}{2}AB \\ AD + CF > \dfrac{3}{2}AC \end{array} \right.\)
Cộng theo vế ta được :
`-> BE + CF + AD + BE + AD + CF > 3/2 BC + 3/2 AB + 3/2 AC`
`-> 2AD + 2 BE + 2CF > 3/2 (AB + AC + BC)`
`-> 2 (AD + BE + CF) > 3/2 (AB + AC + BC)`
`-> AD + BE + CF > 3/4 (AB + AC + BC)` `(1)`
$\\$
Có : `AD < (AB + AC)/2`
Chứng minh tương tự :
`->` \(\left\{ \begin{array}{l}BE < \dfrac{AB + BC}2\\CF < \dfrac{BC + AC}2\end{array} \right.\)
Cộng theo vế ta được :
`-> AB + BE + CF < (AB + AC)/2 + (AB + BC)/2 + (BC + AC)/2`
`-> 2AB + 2BE + 2CF < AB + AC + AB + BC + BC + AC`
`-> 2 (AB + BE + CF) < 2AB + 2AC + 2BC`
`-> 2( AB + BE + CF) < 2 (AB + AC + BC)`
`-> AB + BE + CF < AB + AC + BC` `(2)`
$\\$
Từ `(1), (2)`
`-> 3/4 (AB + BC+ AC) < AD + BE + CF < AB + BC + AC`
