Xét phần $\frac{1}{ a+\frac{1}{b+\frac{1}{c} } }$ , ta tính tử dưới lên trên:
* $\frac{1}{b+\frac{1}{c} }$=$\frac{1}{\frac{bc+1}{c} }$= $\frac{c}{bc+1}$
* $\frac{1}{a+\frac{c}{bc+1} }$=$\frac{1}{\frac{abc+a+c}{bc+1} }$= $\frac{bc+1}{abc+a+c}$
Sau khi tính, đẳng thức trở thành:
$\frac{52}{9}$=5+$\frac{bc+1}{abc+a+c}$
⇒ $\frac{bc+1}{abc+a+c}$=$\frac{52}{9}$-5
⇔ $\frac{bc+1}{abc+a+c}$=$\frac{7}{9}$
+) Xét bc+1=7 và abc+a+c=9
⇒ bc=6
+ Nếu b.c=2.3 thì abc≥6 và c=3⇒abc+a+c>9 ( LOẠI )
+ Nếu b.c=3.2 thì abc+a+c→6a+a+2=9 và a=1
+ Nếu b.c=1.6 thì abc+a+c→6a+a+6=9 ( LOẠI )
+ Nếu b.c=6.1 thì abc+a+c→6a+a+1=9 ( LOẠI )
Vậy a=1, b=3, c=2
