Đáp án:
`a,`
Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :
`hat{AHB} = hat{AHC} = 90^o`
`AH` chung
`AB = AC`(Do `ΔABC` cân tại `A`)
`-> ΔAHB = ΔAHC` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
`-> BH = CH` (2 cạnh tương ứng)
hay `H` là trung điểm của `BC`
$\\$
$\\$
`b,`
Do $AB//CE$
`-> hat{BAM} = hat{ECM}` (2 góc so le trong)
Xét `ΔBAM` và `ΔECM` có :
`hat{BAM} = hat{ECM}` (chứng minh trên)
`hat{AMB} =hat{CME}` (2 góc đối đỉnh)
`AM = CM` (Do `M` là trung điểm của `AC`)
`-> ΔBAM = ΔECN` (góc - cạnh - góc)
`-> AB = CE` (2 cạnh tương ứng)
mà `AB = AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`-> CE = AC (=AB)`
`-> ΔACE` cân tại `C`
$\\$
$\\$
$c,$
Có : `M` là trung điểm của `AC`
`-> BM` là đường trung tuyến của `ΔABC`
Có : `H` là trung điểm của `BC`
`-> AH` là đường trung tuyến của `ΔABC`
Xét `ΔABC` có :
`BM` là đường trung tuyến
`AH` là đường trung tuyến
`BM` cắt `AH` tại `I`
`-> I` là trọng tâm của `ΔABC`
$\\$
$\\$
$d,$
Do `ΔBAM = ΔECM` (chứng minh trên)
`-> BM = EM` (2 cạnh tương ứng)
hay `M` là trung điểm của `BE`
Do `I` là trọng tâm của `ΔABC`
`-> BI = 2/3 BM`
mà `BM = 1/2 BE` (Do `M` là trung điểm của `BE`)
`-> BI = 2/3 . 1/2 BE`
`-> BI = 1/3 BE`
`-> BE = 3BI`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔABE` có :
`AB + AE > BE`
mà `BE = 3BI`
`-> AB + AE > 3BI`
