a) Ta có:
$D$ đối xứng với $H$ qua $AB$
$\Rightarrow AB$ là trung trực của $HD$
$\Rightarrow AD = AH;\, BD = BH$
Tương tự:
$AC$ là trung trực của $HE$
$\Rightarrow AE = AH;\, CE = CH$
$\Rightarrow AD = AE = AH$ $(1)$
Ta cũng được:
$\widehat{DAH} = 2\widehat{HAB}$
$\widehat{EAH} = 2\widehat{HAC}$
$\Rightarrow \widehat{DAH} + \widehat{EAH} = 2(\widehat{HAB}+ \widehat{HAC}) = 2\widehat{BAC} = 2.90^o = 180^o$ $(2)$
$(1)(2)\Rightarrow A$ là trung điểm của $DE$
b) Xét $∆ABH$ và $∆ADH$ có:
$AB:$ cạnh chung
$AD= AH$
$BD = BH$
Do đó $∆ABH=∆ADH\, (c.c.c)$
$\Rightarrow \widehat{AHB} = \widehat{ADB} = 90^o$
$\Rightarrow BD\perp DE$
Chứng minh tương tự, ta được:
$CE\perp DE$
Do đó: $BCED$ là hình thang vuông tại $D$ và $E$
c) Ta có: $∆ABH\sim ∆CAH\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{BH}{AH} = \dfrac{AH}{CH}$
$\Rightarrow AH^2 = BH.CH = 2.8 = 16$
$\Rightarrow AH = 4\, cm$
Ta được:
$P_{BCED} = BD + DE + EC + BC$
$= BH + (AD + AE) + CH + (BH + CH)$
$= BH + 2AH + CH + BH + CH$
$= 2(AH + BH + CH)$
$= 2.(4+2+8) = 28\, cm$
