e) Xét hso
$y = 3 - \cos(2x) + \cos \left( \dfrac{\pi}{4} + 2x \right)$
$= 3 - \cos(2x) + \dfrac{1}{\sqrt{2}} [\sin(2x) + \cos(2x)]$
$= 3 + \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} - 1 \right) \cos(2x) + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin(2x)$
Ta có
$\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} - 1 \right)^2 + \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)^2= 2 - \sqrt{2}$
Ta có
$y = 3 + \sqrt{2 - \sqrt{2}} \left[ \dfrac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} \cos(2x) + \dfrac{1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} \sin(2x) \right]$
Đặt $\sin a = \dfrac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}}, \cos a = \dfrac{1}{2\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$. Khi đó ta có
$y = 3 + \sin(a + 2x).\sqrt{2-\sqrt{2}} $
Ta luôn có
$-1 \leq \sin(a + 2x) \leq 1$
$\Leftrightarrow 3-\sqrt{2-\sqrt{2}} \leq 3 + \sqrt{2-\sqrt{2}} \leq 3 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}$
GTNN khi $\sin(a + 2x) = -1$ hay $x = -\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{a}{2} + k\pi$.
GTLN khi $\sin(a + 2x) = 1$ hay $x = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{a}{2} + k\pi$.
Vậy GTNN của hso là $3-\sqrt{2-\sqrt{2}}$ khi $x = -\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{a}{2} + k\pi$ và GTLN của hso là $3 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ khi $x = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{a}{2} + k\pi$.
b) Xét hso
$y = -3 \sin^2(2x) + 2$
Áp dụng cthuc hạ bậc ta có
$y = -\dfrac{3}{2} [1 - \cos(4x)] + 2 = \dfrac{3}{2} \cos(4x) + \dfrac{1}{2}$
Ta có
$-1 \leq \cos(4x) \leq 1$ với mọi $x$
$\Leftrightarrow -1 \leq \dfrac{3}{2} \cos(4x) + \dfrac{1}{2} \leq 1$
Dấu "=" đầu xảy ra khi $\cos(4x) = -1$ hay $x = -\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}$
Dấu "=" thứ hai xảy ra khi $\cos(4x) = 1$ hay $x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}$.
Vậy GTNN của hso là $-1$ khi $x = -\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}$ và GTLN của hso là $1$ khi $x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}$.
