Từ giả thiết ta có:
$\begin{array}{l} \left( {2x + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)\left( {3y + \sqrt {9{y^2} + 1} } \right) = 1\\ \Leftrightarrow \left( {2x - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)\left( {2x + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)\left( {3y + \sqrt {9{y^2} + 1} } \right) = 2x - \sqrt {4{x^2} + 1} \\ \Leftrightarrow \left( {4{x^2} - 4{x^2} - 1} \right)\left( {3y + \sqrt {9{y^2} + 1} } \right) = 2x - \sqrt {4{x^2} + 1} \\ \Leftrightarrow - 3y - \sqrt {9{y^2} + 1} = 2x - \sqrt {4{x^2} + 1}(1) \end{array}$
Tương tự ta có: $-2x-\sqrt{4x^2+1}=3y-\sqrt{9y^2+1}(2)$
Cộng từng vế (1) và (2) ta được $2x+3y=0$
$8x^3+27y^3+2021=(2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2)+2021=2021$
