Giải thích các bước giải:
Ta có:
Phương trình $\left( {{m^2} - 3m + 5} \right){x^4} + 2x - 2 = 0$
Đặt $f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 3m + 5} \right){x^4} + 2x - 2$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
+ )f\left( 0 \right) = - 2\\
+ )f\left( 1 \right) = {m^2} - 3m + 5 = {\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0,\forall m\\
+ )f\left( { - 2} \right) = 16\left( {{m^2} - 3m + 5} \right) - 6\\
= 16{m^2} - 48m + 74\\
= {\left( {4m} \right)^2} - 2.4m.6 + 36 + 38\\
= {\left( {4m - 6} \right)^2} + 38 > 0,\forall m
\end{array}$
Như vậy:
$f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0,\forall m$
$\to $ Phương trình $f(x)=0$ có nghiệm thuộc $(0,1)$
$\to $ Phương trình $f(x)=0$ có nghiệm dương $(1)$
Lại có:
$f\left( 0 \right).f\left( { - 2} \right) < 0,\forall m$
$\to $ Phương trình $f(x)=0$ có nghiệm thuộc $(-2;0)$
$\to $ Phương trình $f(x)=0$ có nghiệm âm $(2)$
Từ $(1),(2)\to $ Với mọi $m$ thì phương trình $f(x)=0$ luôn có hai nghiệm trái dấu.
Ta có điều phải chứng minh.
