Đáp án:

 37) $M=0$ khi $x = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}}}$

38) $y=1995$

Giải thích các bước giải:

 36) Ta có:

Đặt $A = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
A = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}\\
 \Leftrightarrow {A^3} = {\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}} \right)^3}\\
 \Leftrightarrow {A^3} = {\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}} \right)^3} + {\left( {\sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}} \right)^3} + 3\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}.\sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}} \right)\\
 \Leftrightarrow {A^3} = 7 + 5\sqrt 2  + 7 - 5\sqrt 2  + 3.\sqrt[3]{{{7^2} - {{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2}}}.A\\
 \Leftrightarrow {A^3} = 14 + 3\sqrt[3]{{ - 1}}.A\\
 \Leftrightarrow {A^3} + 3A - 14 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {A - 2} \right)\left( {{A^2} + 2A + 7} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow A - 2 = 0\left( {do:{A^2} + 2A + 7 = {{\left( {A + 1} \right)}^2} + 6 > 0} \right)\\
 \Leftrightarrow A = 2
\end{array}$

Ta có điều phải chứng minh.

37) Ta có:

$\begin{array}{l}
x = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}}}\\
 = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{\dfrac{{{7^2} - {{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{7 - 5\sqrt 2 }}}}}}\\
 = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}
\end{array}$

Dựa vào bài $36$ ta có: $x = 2$

Như vậy: 

Tại $x = 2$ thì $M = {x^3} + 3x - 14 = {2^3} + 3.2 - 14 = 0$

Vậy $M=0$ khi $x = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}}}$

38) Ta có:

$\begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{4 - \sqrt {15} }}}} + \sqrt[3]{{4 - \sqrt {15} }}\\
 = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{{4 - \sqrt {15} }}}} + \sqrt[3]{{4 - \sqrt {15} }}\\
 = \sqrt[3]{{\dfrac{{{4^2} - 15}}{{4 - \sqrt {15} }}}} + \sqrt[3]{{4 - \sqrt {15} }}\\
 = \sqrt[3]{{4 + \sqrt {15} }} + \sqrt[3]{{4 - \sqrt {15} }}
\end{array}$

Nên ta có:

$\begin{array}{l}
{x^3} = {\left( {\sqrt[3]{{4 + \sqrt {15} }} + \sqrt[3]{{4 - \sqrt {15} }}} \right)^3}\\
 = 4 + \sqrt {15}  + 4 - \sqrt {15}  + 3\sqrt[3]{{4 + \sqrt {15} }}.\sqrt[3]{{4 - \sqrt {15} }}\left( {\sqrt[3]{{4 + \sqrt {15} }} + \sqrt[3]{{4 - \sqrt {15} }}} \right)\\
 = 8 + 3.\sqrt[3]{{{4^2} - {{\left( {\sqrt {15} } \right)}^2}}}.x\\
 = 8 + 3x\\
 \Rightarrow {x^3} = 8 + 3x
\end{array}$

Hay ${x^3} - 3x = 8$

Như vậy: $y = {x^3} - 3x + 1987 = 8 + 1987 = 1995$

39) Ta có:

$x = \sqrt[3]{{5 - \sqrt {17} }} + \sqrt[3]{{5 + \sqrt {17} }}$

Như vậy:

$\begin{array}{l}
{x^3} = {\left( {\sqrt[3]{{5 - \sqrt {17} }} + \sqrt[3]{{5 + \sqrt {17} }}} \right)^3}\\
 = 5 - \sqrt {17}  + 5 + \sqrt {17}  + 3\sqrt[3]{{5 - \sqrt {17} }}.\sqrt[3]{{5 + \sqrt {17} }}\left( {\sqrt[3]{{5 - \sqrt {17} }} + \sqrt[3]{{5 + \sqrt {17} }}} \right)\\
 = 10 + 3\sqrt[3]{{{5^2} - {{\left( {\sqrt {17} } \right)}^2}}}.x\\
 = 10 + 6x
\end{array}$

Hay ${x^3} - 6x - 10 = 0$ nên $x = \sqrt[3]{{5 - \sqrt {17} }} + \sqrt[3]{{5 + \sqrt {17} }}$ là nghiệm của phương trình $x^3-6x-10=0$