Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a/ Có: $AE.AB=AH^2$ (hệ thức trong $ΔAHB$ vuông tại $H$)
và $AF.AC=AH^2$ (hệ thức trong $ΔAHC$ vuông tại $H$)
$⇒ AE.AB=AF.AC$
b/ Ta có: $\sin B=\dfrac{AC}{BC}$
$⇒ \dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AC}{\dfrac{AC}{BC}}=BC$
và $\sin C=\dfrac{AB}{BC}$
$⇒ \dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{AB}{\dfrac{AB}{BC}}=BC$
Từ đó suy ra: $\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AB}{\sin C}$ $(=BC)$
c/ Ta có: $AH^2=BH.CH$ (hệ thức trong $ΔABC$ vuông tại $A$)
$⇒ AH^4=BH^2.CH^2=BE.BA.CF.CA$
$⇒ AH^3=\dfrac{BE.CF.AB.AC}{AH}$
Mà $AH.BC=AB.AC$ nên $\dfrac{AB.AC}{AH}=BC$
Từ đó suy ra: $AH^3=BE.CF.BC$
d/ Ta có: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha=1$
Có: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2=\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha+2.\sin\alpha.\cos\alpha$
$=1+2.\sin \alpha. \cos \alpha$ $(1)$
Ta có: $\sin \alpha = \sin \widehat{ACB}=\dfrac{AB}{BC}$
và $\cos \alpha=\cos \widehat{ACB}=\dfrac{AC}{BC}$
$⇒ 2.\sin \alpha. \cos \alpha=\dfrac{2AB.AC}{BC^2}=\dfrac{2.BC.AH}{BC^2}=\dfrac{2AH}{2AM}=\dfrac{AH}{AM}=\sin \beta$
Hay $2.\sin \alpha. \cos \alpha=\sin \beta$ $(2)$
Từ $(1), (2)$ suy ra: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2=\sin \beta$
