Giải thích các bước giải:
1.a.Ta có $CA, CM$ là tiếp tuyến của $(O)\to CA=CM, OC$ là phân giác $\widehat{AOM}$
Tương tự $DM=DB, OD$ là phân giác $\widehat{MOB}$
$\to CD=CM+MD=AC+BD$
b.Ta có: $\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^o\to OC\perp OD$
Lại có $CD$ là tiếp tuyến tại $M$ của $(O)\to OM\perp CD$
$\to MC.MD=OM^2$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
$\to AC.BD=R^2$
2.Ta có: $S_{ABCD}=\dfrac12AB\cdot (CD+DB)$
$\to S_{ABCD}\ge \dfrac12AB\cdot 2\sqrt{CD\cdot DB}$
$\to S_{ABCD}\ge \dfrac12\cdot 2R\cdot 2\sqrt{R^2}$
$\to S_{ABCD}\ge 2R^2$
Dấu = xảy ra khi $AC=DB\to M$ nằm giữa cung $AB$
3.Ta có $S_{ABCD}=32$
$\to \dfrac12AB\cdot (CD+DB)=32$
$\to \dfrac12\cdot 2R\cdot CD=32$
$\to R\cdot CD=32$
$\to 2\cdot CD=32$
$\to CD=16$
$\to CM+MD=16$
Mà $CM\cdot MD=R^2=4$
$\to MD, MC$ là nghiệm của phương trình
$x^2-16x+4=0$
$\to x=8\pm2\sqrt{15}$
Không mất tính tổng quát giả sử $MC=8+2\sqrt{15}, MD=8-2\sqrt{15}$
$\to \tan\widehat{MDO}=\dfrac{OM}{DM}=4-\sqrt{15}$
Mà $\widehat{MDO}=\widehat{MBA}$
$\to \tan\widehat{MBA}=4-\sqrt{15}$
$\to \dfrac{AM}{AB}=4-\sqrt{15}$
$\to \dfrac{AM}{2R}=4-\sqrt{15}$
$\to \dfrac{AM}{4}=4-\sqrt{15}$
$\to AM=4(4-\sqrt{15})$
$\to BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{4^2-(4(4-\sqrt{15}))^2}$
$\to BM=\sqrt{128\sqrt{15}-480}$
$\to S_{ABM}=\dfrac12MA\cdot MB=\dfrac12\cdot \sqrt{128\sqrt{15}-480}\cdot4(4-\sqrt{15})$
$\to S_{ABM}=2\left(4-\sqrt{15}\right)\sqrt{128\sqrt{15}-480}$
