`a)`
Vì `ΔABC` cân tại `A`
`⇒AB=AC(` tính chất `Δ` cân `)`
`hat{ABC}=hat{ACB}(` tính chất `Δ` cân `)`
Ta có:`hat{ABC}=hat{B_1}+hat{B_2}`
`hat{ACB}=hat{C_1}+hat{C_2}`
Mà `hat{ABC}=hat{ACB}(cmt)`
`hat{B_1}=hat{B_2}(g``t)`
`hat{C_1}=hat{C_2}(g``t)`
`⇒hat{B_1}=hat{B_2}=hat{C_1}=hat{C_2}`
Xét `ΔANC` và `ΔAMB` có:
`hat{A}:chung`
`AC=AB(cmt)`
`hat{C_1}=hat{B_1}(cmt)`
`⇒ΔANC=ΔAMB(g.c.g)`
`⇒AN=AM(2` cạnh tương ứng `)`
`⇒ΔANM` cân tại `A`
`⇒hat{ANM}=(180^o-hat{A})/2(1)`
Vì `ΔABC` cân tại `A`
`⇒hat{ABC}=(180^o-hat{A})/2(2)`
Từ `(1)` và `(2)⇒hat{ANM}=hat{ABC}`
Mà `2` góc này nằm ở vị trí đồng vị
`⇒NM``/``/``BC`
Xét tứ giác `BNMC` có:
`NM``/``/``BC(cmt)`
`⇒` tứ giác `BNMC` là hình thang `(` dấu hiệu nhận biết hình thang `)(đpcm)`
`b)`
Vì `NM``/``/``BC(cmt)`
`⇒hat{M_1}=hat{B_2}(2` góc so le trong `)`
Mà `hat{B_1}=hat{B_2}(g``t)`
`⇒hat{M_1}=hat{B_1}`
`⇒ΔBNM` cân tại `N`
`⇒BN=NM(` tính chất `Δ` cân `)(3)`
Ta có:`AB=AN+BN`
`AC=AM+MC`
Mà `AB=AC(cmt)`
`AN=AM(cmt)`
`⇒BN=MC(4)`
Từ `(3)` và `(4)⇒BN=NM=MC(đpcm)`
`c)`
Vì `BM` là tia phân giác của `hat{B}`
`⇒hat{B_1}=hat{B}/2=(40^o)/2=20^o`
Mà `hat{C_1}=hat{B_1}(cmt)`
`⇒hat{C_1}=20^o`
Vì `ΔBNM` cân tại `N`
`⇒hat{BNM}=180^o-2hat{B_1}=180^o-2.20^o=140^o`
Vì `NM=MC(cmt)`
`⇒ΔCMN` cân tại `M`
`⇒hat{CMN}=180^o-2hat{C_1}=180^o-2.20^o=140^o`
Vậy `hat{BNM}=hat{CMN}=140^o`
