Đáp án:
$P_{min}=5$ khi $(x;y;z)=(1;1;3)$
Giải thích các bước giải:
Do $x \geq 1 \Rightarrow x-1 \geq 0$
Mặt khác: $30=x^2+2y^2+3z^2 \geq x^2+2.1+3.1$
$⇒x^2 \leq 25 ⇒x \leq 5 <11 ⇒x-11<0$
$⇒(x-1)(x-11) \leq 0$
$⇔x^2+11 \leq 12x$ (1)
Tương tự: $y-1 \geq 0$ và $y^2 \leq 13 ⇒y \leq \sqrt{13}<5$
$⇒(y-1)(y-5) \leq 0⇒y^2+5 \leq 6y$
$⇒2y^2+10 \leq 12y$ (2)
Và:
$30=3z^2+x^2+2y^2 \geq 3z^2+1^2+2.1^2$
$⇒z^2 \leq 9⇒z \leq 3$
$⇒(z-1)(z-3) \leq 0⇔z^2+3 \leq 4z$
$⇒3z^2+9 \leq 12z$ (3)
Cộng vế với vế (1), (2), (3):
$x^2+2y^2+3z^2+30 \leq 12(x+y+z)$
$⇔12(x+y+z) \geq 60$
$⇒x+y+z \geq 5$
Vậy $P_{min}=5$ khi $(x;y;z)=(1;1;3)$
