$\frac{a}{b}$+ $\frac{b}{c}$+ $\frac{c}{a}$ $\geq$ $\frac{b}{a}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{c}$
<=> $\frac{a}{b}$+ $\frac{b}{c}$+ $\frac{c}{a}$-$\frac{b}{a}$-$\frac{c}{b}$-$\frac{a}{c}$$\geq$0
<=> $\frac{a²c}{abc}$+ $\frac{b²a}{acb}$+ $\frac{c²b}{abc}$-$\frac{b²c}{abc}$-$\frac{c²a}{abc}$-$\frac{a²b}{abc}$$\geq$0
<=> $\frac{(a²c+c²a)+(b²a+a²b)+(c²b+b²c)}{abc}$ $\geq$ 0
<=> $\frac{ac(a+c)+ab(b+a)+bc(c+b)}{abc}$ $\geq$ 0
ta có:
c≥b≥a>0 (1)
ac(a+c)+ab(b+a)+bc(c+b)>0 do c≥b≥a>0 (2)
từ (1)và(2) =>$\frac{ac(a+c)+ab(b+a)+bc(c+b)}{abc}$ $\geq$ 0
=>$\frac{a}{b}$+ $\frac{b}{c}$+ $\frac{c}{a}$ $\geq$ $\frac{b}{a}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{c}$ (đpcm)
