`4)a)` `\vec{KA}+2\vec{KB} -2\vec{KC}=vec{0}`
` Leftrightarrow \vec(KA) + 2vec{CB}=vec{0}`
`Leftrightarrow \vec(KA) = 2vec{BC}`
Vậy: `K` nằm vị trí sao cho `\vec(KA) = 2vec{BC}`
`b)`Gọi `G` là trọng tâm `\DeltaABC`
Ta có: `\vec{KA}+2\vec{KB} -2\vec{KC}=vec{0}`
`Rightarrow |\vec(MA)+\vec(MB) + \vec(MC)| =3|\vec(MA)+ 2vec(MB) -2\vec(MC)| `
`Leftrightarrow |vec(MG) |= |\vec(MK)|`
`Leftrightarrow MG = MK`
Vậy: `M` nằm trên đường trung trực của `GK`
`c)` Ta có:
Chèn điểm `K` vào biểu thức
`P= |\vec(NA)+ 2vec(NB) -2\vec(NC)| = |\vec(NK) + \vec(KA)+ 2vec(KB) -2\vec(KC)| = \vec(NK)`
Để cho `NK` nhỏ nhất thì `NK \bot (\Delta) = {N}`
Vậy: `N` là chân đường cao hạ từ `K` xuống `(\Delta)`
thì `P= |\vec(NA)+ 2vec(NB) -2\vec(NC)| ` nhỏ nhất.
$\\$
$\\$
`5)` Lấy `I` sao cho `\vec(IA)-vec(IB) +\vec(IC) = vec(0)`
Ta có: `\vec(IA)-vec(IB) +\vec(IC) = vec(0)`
`Leftrightarrow \vec(IA) = \vec(BC)`
`-> I` là điểm sao cho `ICAB` là hình bình hành
Gọi `E` là trung điểm `IG`
` T = |\vec(MA) + \vec(MB) +\vec(MC) | + 3|vec(MA) - \vec(MB) + \vec(MC)|`
`Leftrightarrow |\vec(MG) + 3\vec(MI) |= |6\vec(ME)| = 6ME`
Để `ME` nhỏ nhất thì `ME \bot AC = {M} (1)`
Ta có: `ICAB` là hình bình hành có hai cạch kề bằng nhau
`-> ICAB` là hình thoi
Do đó: ` \hat(IAC) = 30^0`
` \hat(AEC) = \hat(ECI) + \hat(EIC) = 60^0` (Tính chất góc ngoài tam giác)
`-> \hat (ACM) = 90^0` (định lý tổng các góc của tam giác)
Hay `AC \bot CE = {C} (2)`
Từ `(1)` và `(2)` suy ra ` C ≡ M`
Ta có:` EM = CG = 2/3. (a\sqrt(3))/2 = (a\sqrt(3))/3`
`-> 6EM = 6. (a\sqrt(3))/3 = 2a\sqrt(3)`
Vậy: GTNN của `T = 2a\sqrt(3)`
(Hình vẽ của bài 5)
