Đặt $\begin{array}{l} \sqrt x = a,\sqrt y = b,\sqrt z = c\left( {a,b,c \ge 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b + c = 1\\ a,b,c \ge 0 \end{array} \right. \end{array}$
Bất đẳng thức trở thành:
$\sqrt{\dfrac{xy}{x + y + 2z}} +\sqrt{\dfrac{yz}{y + z + 2x}} +\sqrt{\dfrac{zx}{z + x + 2y}} \le \dfrac{1}{2}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + 2{c^2}} }} + \dfrac{{bc}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2} + 2{a^2}} }} + \dfrac{{ca}}{{\sqrt {{c^2} + {a^2} + 2{b^2}} }} \le \dfrac{1}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức $Bunyakovsky$ cho 3 số và áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$\begin{array}{l} \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + 2{c^2}} }} = \dfrac{{2ab}}{{\sqrt {4\left( {{a^2} + {b^2} + 2{c^2}} \right)} }}\\ = \dfrac{{2ab}}{{\sqrt {\left( {1 + 1 + 2} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + 2{c^2}} \right)} }} \le \dfrac{{2ab}}{{a + b + 2c}}\\ \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{ab}}{{a + c}} + \dfrac{{ab}}{{b + c}}} \right) \end{array}$
Tương tự ta có
$\begin{array}{l} \dfrac{{bc}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2} + 2{a^2}} }} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{bc}}{{b + a}} + \dfrac{{bc}}{{c + a}}} \right)\\ \dfrac{{ca}}{{\sqrt {{c^2} + {a^2} + 2{b^2}} }} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{ca}}{{a + b}} + \dfrac{{ca}}{{c + b}}} \right) \end{array}$
Cộng từng vế bất đẳng thức ta được:
$\begin{array}{l} VT \le \dfrac{1}{2}\left( {a + b + c} \right) = \dfrac{1}{2} \end{array}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
