Đáp án:
GTNN của $h(x)$ là $\dfrac{27}{\sqrt[3]{2}}$, đạt đc khi $x= \dfrac{3 + \sqrt[3]{4}}{2\sqrt[3]{4}}$
Giải thích các bước giải:
Ta có
$h(x) = 2(2x-1)^2 + \dfrac{27}{2x-1} -1$
$= 2(2x-1)^2 + \dfrac{27}{2(2x-1)} + \dfrac{27}{2(2x-1)} - 1$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có
$2(2x-1)^2 + \dfrac{27}{2(2x-1)} + \dfrac{27}{2(2x-1)} \geq 3 \sqrt[3]{2(2x-1)^2 . \dfrac{27}{2(2x-1)} . \dfrac{27}{2(2x-1)}} = 3\sqrt[3]{\dfrac{27^2}{2}} = \dfrac{27}{\sqrt[3]{2}}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
$2(2x-1)^2 = \dfrac{27}{2(2x-1)}$
$\Leftrightarrow 4(2x-1)^3 = 27$
$\Leftrightarrow (2x-1)^3 = \dfrac{27}{4}$
$\Leftrightarrow 2x-1 = \dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{3 + \sqrt[3]{4}}{2\sqrt[3]{4}}$
Vậy GTNN của $h(x)$ là $\dfrac{27}{\sqrt[3]{2}}$, đạt đc khi $x= \dfrac{3 + \sqrt[3]{4}}{2\sqrt[3]{4}}$
