Đáp án: $A$
Giải thích các bước giải:
(sửa đề: khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là ngắn nhất)
$y'=6x^2-6(m+1)x+6m$
$y'=0\to x^2-(m+1)x+m=0$
$\to (x-1)(x-m)=0$
$\to \left[\begin{matrix} x=1\\ x=m\end{matrix}\right.$
$x=1\to y=2-3(m+1)+6m+m^3=m^3+3m-1$
$x=m\to y=2m^3-3m^2(m+1)+6m^2+m^3=3m^2$
Khoảng cách:
$d=\sqrt{(m-1)^2+(3m^2-m^3-3m+1)^2}$
$=\sqrt{(m-1)^2+(m^3-3m^2+3m-1)^2}$
$=\sqrt{(m-1)^2+[(m-1)(m^2+m+1)-3m(m-1)]^2}$
$=\sqrt{(m-1)^2+[(m-1)(m^2+m+1-3m)]^2}$
$=\sqrt{(m-1)^2+[(m-1)(m-1)^2]^2}$
$=\sqrt{(m-1)^6+(m-1)^2}$
$t=m-1\to d(t)=\sqrt{t^6+t^2}$
$d'(t)=\dfrac{3t^5+t}{\sqrt{t^6+t^2}}$
$d'(t)=0\to t=0$
Lập BBT $\to\min d(t)=d(0)$
$\to d$ đạt $\min$ khi $m-1=0$
$\to m=1$
