ΔABC cân tại A (giả thiết)
⇒AB=AC, ˆABC=ˆACB (tính chất tam giác cân)
Vì BD,CE lần lượt là phân giác của ˆABC và ˆACB (giả thiết)
⇒ˆB1=ˆB2=ˆABC/2
ˆC1=ˆC2=ˆACB/2 (tính chất tia phân giác)
Mà ˆABC=ˆACB (chứng minh trên)
⇒ˆB1=ˆB2=ˆC1=ˆC2
Xét ΔABD và ΔACE có:
+) AB=AC (chứng minh trên)
+) ˆA chung
+) ˆB1=ˆC1 (chứng minh trên)
⇒ΔABD=ΔACE(g.c.g)
⇒AD=AE (2 cạnh tương ứng).
Ta có AD=AE (chứng minh trên) nên ΔADE cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
⇒ˆAED=ˆADE (tính chất tam giác cân)
Xét ΔADE có: ˆAED+ˆADE+ˆA=180 (định lý tổng ba góc trong tam giác)
⇒2*ˆAED+ˆA=180
⇒ˆAED=(180−ˆA)/2 (1)
XétΔABC có: ˆA+ˆABC+ˆACB=180 (định lý tổng ba góc trong tam giác)
Mà ˆABC=ˆACB (chứng minh trên)
⇒ˆ2*ABC+ˆA=180
⇒ˆABC=(180−ˆA)/2 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ˆAED = ˆABC, mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra DE//BC
(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Do đó BEDC là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang).
Lại có ˆABC = ˆACB (chứng minh trên)
Nên BEDC là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
Ta có:
DE//BC⇒ˆD1=ˆB2 (so le trong)
Lại có ˆB2 = ˆB1 (chứng minh trên) nên ˆB1 = ˆD1
⇒ΔEBD cân tại E (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
⇒EB=ED (tính chất tam giác cân).
Vậy BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
