a) Xét Δ ABC có :
∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180° ( Tổng 3 góc trong tam giác )
60° + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°
+ ∠ ABC + ∠ ACB = 120°
Vì BD là phân giác ∠ ABC ( Giả thiết )
=> ∠ IBC = `1/2` ∠ ABC
Vì CE là phân giác ∠ ACB ( Giả thiết )
=> ∠ ICB = `1/2` ∠ ACB
Ta có :
∠ ABC + ∠ ACB = 120°
=> `1/2` ( ∠ ABC + ∠ ACB ) = 60°
=> `1/2` . ∠ ABC + `1/2` . ∠ ACB = 60°
=> ∠ IBC + ∠ ICB = 60°
Xét tổng 3 góc trong tam giác IBC => Ta được : ∠ BIC = 180° - 60° = 120°
Vậy ∠ BIC = 120°
b) Vì IF là phân giác ∠ BIC ( Giả thiết )
=> ∠ BIF = `1/2` . ∠ BIC
=> ∠ BIF = `1/2` . 120°
=> ∠ BIF = 60°
Ta có : ∠ BIC + ∠ BIE = 180° ( Kề bù )
=> 120° + ∠ BIE = 180°
=> ∠ BIE = 60°
Ta thấy ∠ BIF = ∠ BIE ( = 60° )
Xét Δ BIE và Δ BIF có :
∠ EIB = ∠ FBI ( BI là phân giác ∠ ABC )
BI : cạnh chung
∠ BIE= ∠ BIF ( chứng minh trên )
=> Δ BIE = Δ BIF ( g - c - g )
Vậy Δ BIE = Δ BIF
c) Vì Δ BIE = Δ BIF ( chứng minh câu b )
=> IE = IF ; BE = BF( 2 cạnh tương ứng )
Vậy IE = IF
d) Vì IF là phân giác ∠ BIC ( Giả thiết )
=> ∠ CIF = `1/2` . ∠ BIC
=> ∠ CIF = `1/2` . 120°
=> ∠ CIF = 60°
Ta có :
∠ BIC + ∠ CID = 180° ( Kề bù )
=> 120° + ∠ CID = 180°
=> ∠ CID = 60°
Ta thấy ∠ CID = ∠ CIF ( = 60° )
Xét Δ IFC và Δ IDC có :
∠ ICF = ∠ ICD ( CI là phân giác ∠ ACB )
IC : cạnh chung
∠ CIF = ∠ CID ( chứng minh trên )
=> Δ IFC = Δ IDC ( g - c - g )
=> CD = FC ( 2 cạnh tương ứng )
Ta có : BE = BF ( chứng minh câu c )
CD = FC ( chứng minh trên )
=> Cộng vế với vế ta được
BE + CD = BF + FC
=> BE + CD = BC
Vậy BE + CD = BC
