a) Ta có:
$\begin{cases}AH\perp BC\quad (gt)\\AI\perp CE\quad (gt)\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{AIC} = \widehat{AHC} = 90^o$
Xét tứ giác $ACHI$ có:
$\widehat{AIC} = \widehat{AHC} = 90^o$
$\widehat{AIC}$ và $\widehat{AHC}$ cùng nhìn cạnh $AC$
Do đó $ACHI$ là tứ giác nội tiếp
b) Ta có:
$ΔAIC$ vuông tại $I$
$\Rightarrow \widehat{IAC} = 90^o - \widehat{ACI} = 90^o - \widehat{ACE}$
$ΔFIC$ vuông tại $I$
$\Rightarrow \widehat{IFC} = 90^o - \widehat{FCI} = 90^o - \widehat{BCE}$
Ta lại có:
$\widehat{ACE} = \widehat{BCE} = \dfrac{1}{2}\widehat{ACB}\quad (gt)$
Do đó $\widehat{IAC} = \widehat{IFC}$
$\Rightarrow \widehat{FAC} = \widehat{AFC}$
$\Rightarrow ΔACF$ cân tại $C$
c) Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔAEC$ vuông tại $A$ đường cao $AI$ ta được:
$AC^2 = CI.CE$
Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$AC^2 = CH.CB$
Do đó: $CH.CB = CI.CE \qquad (=AC^2)$
d) $ΔACF$ cân tại $C$ (câu b)
$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{AFC} = \widehat{FAC}\\AC = CF\\AI = \dfrac{1}{2}AF\end{cases}$
Ta có:
$AI = AC.\cos\widehat{IAC}$
$\to AI = AC.\cos\widehat{AFC}$
$\to AI = AC\cdot\dfrac{FH}{AF}$
$\to \dfrac{1}{2}AF = AC\cdot\dfrac{FH}{AF}$
$\to \dfrac{1}{2}AF^2 = AC.FH$
$\to AF^2 = 2AC.(FC - CH)$
$\to AF^2 = 2AC.(AC - CH)$
$\to 2AC^2 - 2AC.CH - AF^2 = 0$
$\to 2AC^2 - 2AC.9 - (6\sqrt5)^2 = 0$
$\to AC^2 - 9AC - 90 =0$
$\to \left[\begin{array}{l}AC= - 6\quad (loại)\\AC = 15\end{array}\right.$
$\to AC = 15\, cm$
Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$AC^2 = CH.BC$
$\Rightarrow BC = \dfrac{AC^2}{CH} = \dfrac{15^2}{9} = 25\, cm$
$\Rightarrow BH = BC - CH = 25 - 9 = 16\, cm$
$\Rightarrow AC^2 = BH.BC = 16.25 = 400$
$\Rightarrow AC = \sqrt{400} = 20\, cm$
Ta được:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.20.15 = 150\, cm^2$
