a) Xét tứ giác $ADHE$ có:
\(\widehat{BAC}=\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^o\)
$⇒$ Tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật
$⇒$ $AH = DE$ ( theo tính chất hình chữ nhật )
b) Xét $ΔECH$ vuông ở $E$
$⇒$ $EQ = HQ =$ \(\dfrac{1}{2}HC\)
Xét hình chữ nhật $ADHE$
$⇒$ $OH = OE = OD$
Xét $ΔQEO$ và $ΔQHO$ có :
$HQ = EQ ( cmt )$
$OH = OE ( cmt )$
$OQ chung$
$⇒$ $ΔQEO = ΔQHO ( c.c.c )$ $⇒$ $\widehat{OHQ}=\widehat{OEQ}$
Mà: $\widehat{OHQ}=90^o\Rightarrow\widehat{QEO}=90^o\Rightarrow EQ\perp DE$
Chứng minh tương tự, ta được $ΔDPO = ΔHPO ( c.c.c )$
$⇒$ $PD ⊥ DE$
\(EQ\perp DE\\ PD\perp DE\) ( cmt )
$⇒$ $EQ // PD $
$⇒$ Tứ giác $DEQP$ là hình thang
Mà \(\widehat{PDE}=90^o\left(cmt\right)\) $⇒$ Tứ giác $DEQP$ là hình thang cân
c) Dễ chứng minh được $QO$ là đường trung bình $ΔAHC$
$⇒$ $QO // AC$ mà $AC ⊥ AB$ $⇒$ $QO ⊥ AB$
$⇒$ $QO$ là đường cao $ΔABQ$ tại đỉnh $B$
$ΔABQ$ có $AH$ , $QO$ lần lượt là đường cao của $BQ$ và $AB$
Mà \(AH\cap QOtạiO\)
$⇒$ $O$ là trực tâm $ΔABQ$
d) Ta có :
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}BC\cdot AH\\ =\dfrac{1}{2}\left(BH+CH\right)\cdot DE\\ =\dfrac{1}{2}\left(2DP+2EQ\right)\cdot DE\\ =\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot\left(DP+EQ\right)\cdot DE\\ =\left(DP+EQ\right)\cdot ED\)
\(S_{DEQP}=\dfrac{1}{2}\left(DP+EQ\right)\cdot ED\)
Mà $S_{\Delta ABC} = ( DP + EQ ) . DE$
$⇒$ $S_{\Delta ABC} = 2S_{DEQP}$
