Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
A = {n^4} - 1\\
= {\left( {{n^2}} \right)^2} - {1^2}\\
= \left( {{n^2} - 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)\\
= \left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)
\end{array}\)
\(n\) là số tự nhiên lẻ nên \(n = 2k + 1\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\), ta có:
\(\begin{array}{l}
A = \left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)\\
= \left[ {\left( {2k + 1} \right) - 1} \right].\left[ {\left( {2k + 1} \right) + 1} \right].\left[ {{{\left( {2k + 1} \right)}^2} + 1} \right]\\
= \left( {2k} \right).\left( {2k + 2} \right).\left[ {\left( {4{k^2} + 4k + 1} \right) + 1} \right]\\
= 2.k.2.\left( {k + 1} \right).\left( {4{k^2} + 4k + 2} \right)\\
= 4.k\left( {k + 1} \right).2.\left( {2{k^2} + 2k + 1} \right)\\
= 8.k\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 2k + 1} \right)
\end{array}\)
Do \(k;\,\,\,k + 1\) là hai số tự nhiên liên tiếp nên \(k.\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow A = 8k\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 2k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,16\)
Vậy \(\left( {{n^4} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,16\) với mọi số tự nhiên n lẻ.
