Đáp án:
$C.\ \dfrac{27}{4}\sqrt6$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\widehat{BAD}= 120^\circ$
$\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{DAC}= 60^\circ$
$\Rightarrow \triangle BAC,\triangle DAC$ đều cạnh $3$
$\Rightarrow AB = BC = CD = AD = AC = 3$
Gọi $M,\ M'$ lần lượt là trung điểm $AB,A'B'$
$\Rightarrow \begin{cases}CM = C'M' =\dfrac{3\sqrt3}{2}\\MM'\perp (A'B'C')\Rightarrow MM'\perp C'M'\\C'M'\perp A'B'\end{cases}$
$\Rightarrow C'M'\perp (ABB'A')$
$\Rightarrow AM'$ là hình chiếu của $AC'$ lên $(ABB'A')$
$\Rightarrow \widehat{(AC';(ABB'A'))}=\widehat{AC'M'}= 30^\circ$
$\Rightarrow AC' = \dfrac{C'M'}{\sin\widehat{AC'}}=\dfrac{\dfrac{3\sqrt3}{2}}{\sin30^\circ}=3\sqrt3$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:
$\quad AC'^2 = AC^2 + CC'^2$
$\Rightarrow CC'=\sqrt{AC'^2 - AC^2}=\sqrt{\left(3\sqrt3\right)^2 - 3^2}$
$\Rightarrow CC'=3\sqrt2$
Thể tích lăng trụ:
$\quad V =S_{ABC}.CC' =\dfrac{3^2\sqrt3}{4}\cdot 3\sqrt2 =\dfrac{27\sqrt6}{4}$
