Đáp án:
1) $(x; y ) = (1; - 1)$
2) $GTLN$ của $\frac{\sqrt[]{x - 2020}}{x + 1} + \frac{\sqrt[]{x - 2021}}{x - 1} = \frac{1}{2\sqrt[]{2021}} + \frac{1}{2\sqrt[]{2020}}$ khi $x = 4041$
Giải thích các bước giải:
1)Điều kiện $: 2 - x² ≥ 0 ⇔ - \sqrt[]{2} ≤ x ≤ \sqrt[]{2} $
Áp dụng BĐT Bunhiacopski $: a + b ≤ \sqrt[]{2(a² + b²)}$ cho vế trái:
$x + \sqrt[]{2 - x²} ≤ \sqrt[]{2[x² + (\sqrt[]{2 - x²})²]} = \sqrt[]{2.2} = 2$
Dấu $"="$ xảy ra khi $: \frac{x}{1} = \frac{\sqrt[]{2 - x²}}{1} ⇔ x = \sqrt[]{2 - x²} ⇔x = 1$
Vế phải $ y² + 2y + 3 = (y + 1)² + 2 ≥ 2 $
Dấu $"="$ xảy ra khi $ y + 1 = 0 ⇔ y = - 1$
Vậy PT có nghiệm khi $ VT = VP = 2 ⇔ x = 1; y = - 1$
2) Điều kiện $: x ≥ 2021$
@ Nếu $ x = 2021 ⇒ \frac{\sqrt[]{x - 2020}}{x + 1} + \frac{\sqrt[]{x - 2021}}{x - 1} = \frac{1}{2022} (1)$
@ Nếu $ x > 2021$ Đặt $:a = \sqrt[]{x - 2020} > 0; b = \sqrt[]{x - 2021} > 0 $
$ ⇒ a² = x - 2020 ⇔ a² + 2021 = x + 1; b² = x - 2021 ⇔b² + 2020 = x - 1$
Thay vào biểu thức và áp dụng BĐT Cô si:
$ \frac{\sqrt[]{x - 2020}}{x + 1} + \frac{\sqrt[]{x - 2021}}{x - 1} = \frac{a}{a² + 2021} + \frac{b}{b² + 2020}$
$ ≤ \frac{a}{2\sqrt[]{a².2021}} + \frac{b}{2\sqrt[]{b².2021}} = \frac{1}{2\sqrt[]{2021}} + \frac{1}{2\sqrt[]{2020}} (2) $
So sánh $(1);(2) ⇒ GTLN$ của $\frac{\sqrt[]{x - 2020}}{x + 1} + \frac{\sqrt[]{x - 2021}}{x - 1} = \frac{1}{2\sqrt[]{2021}} + \frac{1}{2\sqrt[]{2020}}$
Xảy ra khi đồng thời:
$ a² = 2021 ⇔ x - 2020 = 2021 ⇔ x = 4041$
$ b² = 2020 ⇔ x - 2021 = 2020 ⇔ x = 4041$
