Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
B1:\\
a)\dfrac{{x - 3}}{5} - \dfrac{{2x - 1}}{{10}} = \dfrac{{x + 1}}{2} + 1\\
 \Leftrightarrow \dfrac{x}{5} - \dfrac{3}{5} - \dfrac{x}{5} + \dfrac{1}{{10}} = \dfrac{x}{2} + \dfrac{3}{2}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} =  - 2\\
 \Leftrightarrow x =  - 4
\end{array}$

Phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ { - 4} \right\}$

$\begin{array}{l}
b)5x + 1 \le 2x - 3\\
 \Leftrightarrow 3x \le  - 4\\
 \Leftrightarrow x \le \dfrac{{ - 4}}{3}
\end{array}$

Bất phương trình có tập nghiệm $S = \left( { - \infty ;\dfrac{{ - 4}}{3}} \right]$

$\begin{array}{l}
c)\left| {x - 3} \right| - 2x = 5\\
 \Leftrightarrow \left| {x - 3} \right| = 2x + 5\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 5 \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
x - 3 = 2x + 5\\
x - 3 =  - 2x - 5
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \dfrac{{ - 5}}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
x =  - 8\left( l \right)\\
x = \dfrac{{ - 2}}{3}\left( c \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{3}
\end{array}$

Phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right\}$

B2:

Gọi số học sinh lớp $8A$ là $a(a\in N*)$

Ta có:

+) Số học sinh lớp $8B$ là: $64-a$

+) Nếu chuyển 4 em HS lớp $8A$ sang lớp $8B$ thì số HS lớp $8A$ và $8B$ khi đó lần lượt là: $a-4$ và $68-a$

Mà số HS lớp $8A$ khi đó bằng $\dfrac{3}{5}$ số HS lớp $8B$ khi đó nên ta có:

$\begin{array}{l}
a - 4 = \dfrac{3}{5}\left( {68 - a} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{8}{5}a = \dfrac{{224}}{5}\\
 \Leftrightarrow a = 28
\end{array}$

Vậy số học sinh lớp $8A$ và $8B$ ban đầu lần lượt là: $28$ và $36$ học sinh.

B3:

1) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BDA} = \widehat {BAC} = {90^0}\\
\widehat Bchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta BDA \sim \Delta BAC\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CB}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}\\
 \Rightarrow A{B^2} = BD.BC
\end{array}$

2) Ta có:

$\Delta ABC;\widehat A = {90^0};AD \bot BC = D$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB = \sqrt {BD.BC}  = \sqrt {2.32}  = 8cm\\
AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = 8\sqrt {15} cm\\
AD = \dfrac{{2{S_{ABC}}}}{{BC}} = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = 4\sqrt {15} cm
\end{array} \right.$

Vậy $AD = 4\sqrt {15} cm$

3) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BAE} = \widehat {CAB} = {90^0}\\
\widehat {ABE} = \widehat {ACB}\left( { = {{30}^0},do:\widehat {ABE} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} = {{30}^0}} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ABE \sim \Delta ACB\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\\
 \Rightarrow A{B^2} = AE.AC
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\widehat {ABE} = \widehat {DAB} = {30^0}\left( {do:\widehat {DAB} = \widehat {ACB}\left( { + \widehat {ABC} = {{90}^0}} \right)} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {FBA} = \widehat {FAB}\\
 \Rightarrow \Delta FAB \text{cân ở F}
\end{array}$

$\to FA=FB$

Và $\Delta ABE \sim \Delta ACB\left( {g.g} \right)$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {BEA} = \widehat {CBA}\\
 \Rightarrow \widehat {BEA} = {60^0}\\
 \Rightarrow \widehat {FEA} = {60^0}
\end{array}$

Mặt khác: $\widehat {EFA} = \widehat {FAB} + \widehat {FBA} = {30^0} + {30^0} = {60^0}$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {FEA} = \widehat {EFA} = {60^0}\\
 \Rightarrow \Delta EFA \text{đều}
\end{array}$

$\to FE=FA=AE$

Như vậy:

$FE=FB=FA=AE=\dfrac{1}{2}BE$

Và:

$\begin{array}{l}
\widehat {ECB} = \widehat {EBC} = {30^0}\\
 \Rightarrow \Delta ECB\\
 \Rightarrow CE = BE\\
 \Rightarrow CE = 2AE
\end{array}$

$\to AC=\dfrac{2}{3}CE$

Ta có:

$\begin{array}{l}
{S_{BFC}} = \dfrac{1}{2}{S_{BEC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\\
 \Rightarrow {S_{ABC}} = 3{S_{BFC}}
\end{array}$

Ta có điều phải chứng minh.

B4:

ĐK: $x>0$

Ta có:

$\begin{array}{l}
A = {x^2} - 3x + 5 + \dfrac{4}{x}\\
 = \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {x + \dfrac{4}{x}} \right) + 1\\
 = {\left( {x - 2} \right)^2} + \left( {x + \dfrac{4}{x}} \right) + 1\\
 \ge 0 + 2\sqrt {x.\dfrac{4}{x}}  + 1\left( {BDT:Cauchy} \right)\\
 = 5
\end{array}$

Dấu bằng xảy ra

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\\
x = \dfrac{4}{x}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow x = 2
\end{array}$

Vậy $MinA = 5 \Leftrightarrow x = 2$