Đáp án:
\(\displaystyle\int\sqrt x\ e^{\sqrt x}dx= 2e^{\sqrt x}\left(x - 2\sqrt x + 2\right) + C\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\quad I = \displaystyle\int\sqrt x\ e^{\sqrt x}dx\\
\text{Đặt}\ t = \sqrt x\\
\Rightarrow dt = \dfrac{1}{2\sqrt x}dx\\
\text{Ta được:}\\
\quad I = \displaystyle\int 2t^2e^tdt\\
\text{Đặt}\ \begin{cases}u = 2t^2\\dv = e^tdt\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du = 4tdt\\v = e^t\end{cases}\\
\text{Ta được:}\\
\quad I = 2t^2 e^t - \displaystyle\int 4te^tdt\\
\text{Đặt}\ \begin{cases}f = 4t\\dg = e^tdx=t\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}df = 4dt\\g = e^t\end{cases}\\
\text{Ta được:}\\
\quad I = 2t^2 e^t - \left(4te^t - \displaystyle\int 4e^tdt\right)\\
\Leftrightarrow I = 2t^2 e^t - 4te^t + 4e^t + C\\
\Leftrightarrow I = 2xe^{\sqrt x} - 4\sqrt x\ e^{\sqrt x} + 4e^{\sqrt x} + C\\
\Leftrightarrow I = 2e^{\sqrt x}\left(x - 2\sqrt x + 2\right) + C
\end{array}\)
