Đáp án:

$\begin{array}{l}
a.t = 29,{0625^o}C\\
b.t' = 82,{32^o}C
\end{array}$ 

Giải thích các bước giải:

Khi thả quả cầu từ bình A vào bình B lần 1 ta có:
$\begin{array}{l}
{Q_{toa}} = {Q_{thu}} \Leftrightarrow {m_3}{c_3}\left( {{t_3} - {t_I}} \right) = {m_2}{c_2}\left( {{t_I} - {t_2}} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{m_3}{c_3}}}{{{m_2}{c_2}}} = \dfrac{{25 - 20}}{{100 - 25}} = \dfrac{1}{{15}} \Rightarrow {m_3}{c_3} = \dfrac{{{m_2}{c_2}}}{{15}}
\end{array}$

Khi lấy quả cầu thả từ bình B quay lại bình A ta có:
$\begin{array}{l}
{Q_{toa}} = {Q_{thu}} \Leftrightarrow {m_1}{c_2}\left( {{t_3} - {t_{II}}} \right) = {m_3}{c_3}\left( {{t_{II}} - {t_I}} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{m_1}{c_2}}}{{{m_3}{c_3}}} = \dfrac{{{t_{II}} - {t_I}}}{{{t_3} - {t_{II}}}} = \dfrac{{90 - 25}}{{100 - 90}} = 6,5\\
 \Leftrightarrow {m_1}{c_2} = 6,5{m_3}{c_3} = 6,5.\dfrac{{{m_2}{c_2}}}{{15}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{m_1}{c_2}}}{{{m_2}{c_2}}} = \dfrac{{6,5}}{{15}} = \dfrac{{13}}{{30}} \Leftrightarrow \dfrac{{{m_1}}}{{{m_2}}} = \dfrac{{13}}{{30}}
\end{array}$

a. Khi thả thả quả cầu từ bình A vào bình B lần 2 ta có:

$\begin{array}{l}
{Q_{toa}} = {Q_{thu}} \Leftrightarrow {m_3}{c_3}\left( {{t_{II}} - t} \right) = {m_2}{c_2}\left( {t - {t_I}} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{m_3}{c_3}}}{{{m_2}{c_2}}} = \dfrac{{t - {t_I}}}{{{t_{II}} - t}} \Leftrightarrow \dfrac{{t - 25}}{{90 - t}} = \dfrac{1}{{15}}\\
 \Leftrightarrow 90 - t = 15t - 375\\
 \Leftrightarrow 16t = 465 \Rightarrow t = 29,{0625^o}C
\end{array}$

b. Khi đổ cả nước và quả cầu từ Bình B qua Bình A thì nhiệt độ cuối cùng của hệ là:

$\begin{array}{l}
{Q_{toa}} = {Q_{thu}} \Leftrightarrow {m_1}{c_2}\left( {{t_{II}} - t'} \right) = \left( {{m_2}{c_2} + {m_3}{c_3}} \right)\left( {t' - t} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{m_1}{c_2}}}{{{m_2}{c_2} + {m_3}{c_3}}} = \dfrac{{t' - t}}{{{t_{II}} - t'}} \Leftrightarrow \dfrac{{{m_1}}}{{{m_2}}} + \dfrac{{{m_1}{c_2}}}{{{m_3}{c_3}}} = \dfrac{{t' - 29,0625}}{{90 - t'}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{13}}{{30}} + 6,5 = \dfrac{{t' - 29,0625}}{{90 - t'}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{104}}{{15}} = \dfrac{{t' - 29,0625}}{{90 - t'}}\\
 \Leftrightarrow 9360 - 104t' = 15t' - 435,9375\\
 \Leftrightarrow 119t' = 9795,9375 \Rightarrow t' = 82,{32^o}C
\end{array}$