A = x² + 4x - 1
= x² + 2.x.2 + 2² - 4 - 1
= ( x + 2 )² - 5
Vì ( x + 2 )²≥ 0 ∀ x ∈ R nên ( x + 2 )² - 5 ≥ - 5 ∀ x ∈ R
Dấu " = " xảy ra khi x + 2 = 0 ⇔ x = -2
Vậy A min khi x = -2
B = x² - 10x + 4
= x² - 2.x.5 + 5² - 25 + 4
= ( x -5)² -21
Vì ( x - 5 )²≥ 0 ∀ x ∈ R nên ( x - 5 )² - 21 ≥ - 21 ∀ x ∈ R
Dấu " = " xảy ra khi x -5 = 0 ⇔ x = 5
Vậy B min khi x = 5
C = x² + 14x + 3
= x² + 2 .x . 7 + 7² - 49 + 3
= ( x + 7 )² - 46
Vì ( x + 7 )²≥ 0 ∀ x ∈ R nên ( x +7 )² - 46 ≥ - 46 ∀ x ∈ R
Dấu " = " xảy ra khi x + 7 = 0 ⇔ x = -7
Vậy C min khi x = -7
D = x² + x + 1
= x² + 2.x . $\frac{1}{2}$ + ( $\frac{1}{2}$ )² -$\frac{1}{4}$ + 1
= ( x + $\frac{1}{2}$ )² + $\frac{3}{4}$
Vì ( x + $\frac{1}{2}$ )²≥ 0 ∀ x ∈ R nên ( x + $\frac{1}{2}$ )² + $\frac{3}{4}$ ≥ $\frac{3}{4}$ ∀ x ∈ R
Dấu " = " xảy ra khi x +$\frac{1}{2}$ = 0 ⇔ x = -$\frac{1}{2}$
Vậy Dmin khi x = -$\frac{1}{2}$
E = x² + 3x + 4
= x² + 2.x.$\frac{3}{2}$ + ($\frac{3}{2}$)² - $\frac{9}{4}$ + 4
= ( x + $\frac{3}{2}$ )² + $\frac{7}{4}$
Vì ( x + $\frac{3}{2}$ )²≥ 0 ∀ x ∈ R nên ( x + $\frac{3}{2}$ )² + $\frac{7}{4}$ ≥ $\frac{7}{4}$ ∀ x ∈ R
Dấu " = " xảy ra khi x +$\frac{3}{2}$ = 0 ⇔ x = -$\frac{3}{2}$
Vậy Dmin khi x = -$\frac{3}{2}$
F = x² - 5x + 10
= x² - 2. x . $\frac{5}{2}$ + ($\frac{3}{2}$)² - $\frac{25}{4}$ + 10
= ( x - $\frac{5}{2}$ )² + $\frac{15}{4}$
Vì ( x - $\frac{5}{2}$ )²≥ 0 ∀ x ∈ R nên ( x - $\frac{5}{2}$ )² + $\frac{15}{4}$ ≥ $\frac{15}{4}$ ∀ x ∈ R
Dấu " = " xảy ra khi x - $\frac{5}{2}$ = 0 ⇔ x = $\frac{5}{2}$
Vậy Dmin khi x = $\frac{5}{2}$
G = 2x² - 4x + 3
= 2 ( x² - 2x + $\frac{3}{2}$ )
= 2 ( x² - 2.x.1 +1² -1 + $\frac{3}{2}$ )
= 2 [ ( x -1 )² + $\frac{1}{2}$ ]
= 2( x -1 )² + 1
Vì ( x -1 )²≥ 0 ∀ x ∈ R nên 2(x - 1 )² ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇒ 2( x -1 )² +1 ≥ 1 ∀ x ∈ R
Dấu " = " xảy ra khi x - 1= 0 ⇔ x = 1
Vậy A min khi x = 1
H = x² + y² + 4 ( x + y ) + 20
= x² + y² + 4x + 4y + 20
= ( x² + 2.x.2 + 2² ) + (y² + 2.y.2 + 2² ) + 12
= ( x + 2 )² + ( y + 2 )² + 12
Vì ( x + 2 )²≥ 0 ∀ x ∈ R và ( y + 2 )²≥ 0 ∀ y ∈ R nên ( x + 2 )² + ( y + 2 )² ≥ 0 ∀ x , y ∈ R
⇒ ( x + 2 )² + ( y + 2 )² + 12 ≥ 12
Dấu " = " xảy ra khi x + 2 = 0 ⇔ x = -2 và y + 2 = 0 ⇔ y = -2
Vậy A min khi x = -2 và y = -2
