Đáp án:
`a, A > B`
`b, B < 2`
Giải thích các bước giải:
`a,`
`A = (10^{10}+1)/(10^{11}+1)`
Nhân 2 vế với `10` ta được :
`⇔ 10A = (10^{11} + 10)/(10^{11} + 1)`
`⇔ 10A = (10^{11} + 1 + 9)/(10^{11} + 1)`
`⇔ 10A = (10^{11} + 1)/(10^{11} + 1) + 9/(10^{11} + 1)`
`⇔ 10A = 1 + 9/(10^{11} + 1)`
`B = (10^{11} + 1)/(10^{12} + 1)`
Tương tự như trên nhân `10` vào 2 vế ta được :
`⇔ 10B = (10^{12} + 10)/(10^{12}+1)`
`⇔ 10B = (10^{12} + 1 + 9)/(10^{12}+1)`
`⇔ 10B = (10^{12} + 1)/(10^{12}+1) + 9/(10^{12}+1)`
`⇔ 10B = 1 + 9/(10^{12} + 1)`
Vì : `10^{11} < 10^{12}` (Do `11 < 12`)
`-> 10^{11} + 1 < 10^{12}+1` (Cộng `1` vào 2 vế)
`-> 1/(10^{11} + 1) > 1/(10^{12}+1)`
`-> 9/(10^{11} + 1) > 9/(10^{12}+1)` (Nhân `9` vào 2 vế)
`-> 1 + 9/(10^{11}+1) > 1 + 9/(10^{12}+1)` (Cộng thêm `1` vào 2 vế)
`-> 10A > 10B`
`-> A > B`
Vậy `A > B`
`b,`
`B = 1/6 + 1/7 + ... + 1/18 + 1/19`
`⇔ B = (1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9) + (1/10 + ... + 1/19)` `(1)`
Xét `1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9`
Vì `1/6 < 1/4, 1/7 < 1/4, 1/8 < 1/4, 1/9 < 1/4`
`-> 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4`
`-> 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 1/4 × 4`
`-> 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 1` `(2)`
Xét `1/10 + ... + 1/19`
Vì `1/11 < 1/10;...; 1/19 < 1/10`
`-> 1/10 + ... + 1/19 < 1/10 + ... + 1/10`
`-> 1/10 + ... + 1/19 < 1/10 × 10`
`-> 1/10 + ... + 1/19 < 1` `(3)`
Thay `(2), (3)` vào `(1)` ta được :
`B < 1 + 1`
`-> B < 2` (đpcm)
Vậy `B < 2`
