a)
Theo đề bài, ta có $ΔABC$ đều
$=> AB = AC = BC$
Mà $BE = BC$
$=> AB = BE$
Xét $ΔAEB$ ta có $AB = BE $
$=> ΔAEB$ là tam giác cân tại $B$
b)
Vì $ΔABC$ đều nên
$\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \widehat{BAC} = 60^0$
Vì BE là tia đối của BC nên $\widehat{CBE} = 180^0$
Ta có $\widehat{ABC} + \widehat{ABE} = \widehat{CBE} = 180^0$
=> $\widehat{ABE}= 180^0 - \widehat{ABC} = 180^0 - 60^0 = 120^0$
Xét $ΔABE$ cân tại$ B =>$ $\widehat{AEB} = $$\widehat{BAE}$
Ta có $\widehat{AEB}+ \widehat{EAB} + \widehat{EBA}= 180^0$ (Tổng ba góc trong tam giác bằng $180^0$)
$=> 2\widehat{EAB} + \widehat{EBA}= 180^0$ ( do $\widehat{AEB} = $$\widehat{BAE}$ )
$ => 2\widehat{EAB} = 180^0- \widehat{EBA} = 180^0 - 120^0 = 60^0$
$ => \widehat{EAB} = 60^0 : 2 = 30^0$
Lại có $\widehat{EAB} + \widehat{BAC} = \widehat{EAC}$
$ => \widehat{EAC} = 30^0 + 60^0 = 90^0$
Vì $\widehat{EAC} = 90^0$ nên $AE ⊥ AC (1)$
Theo đề bài ta có $AE ⊥ BF (2)$
Từ $(1)$ và$ (2)$ suy ra $BF // CA$
$c)$
Xét $Δ AEC$ ta có $BE = BC$
$=> AB$ là đường trung tuyến của tam giác $AEC (3)$
Xét $Δ AEB$ cân tại $B$ có $BF ⊥ AE$
$=> BF$ là đường trung tuyến của $Δ AEB $
$=> EF = AF$
Xét $Δ AEC$ có $AF = EF$
$=>$ $CF$ là đường trung tuyến của tam giác $AEC (4)$
Mà $AB$ cắt $CF$ tại $H (5)$
Từ $(3), (4), (5)$ suy ra $H$ là trọng tâm của tam giác $AEC$
$=> \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{2}{3}$ (tính chất đường trung tuyến)
d)
Vì $ΔABC$ đều nên $ AC = BC $
$=> BC = 3 (cm)$
Mà $BC = EB => BC = \dfrac{1}{2} EC$
$=> EC = 3 . 2 = 6 (cm)$
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác $CAE$ vuông tại $A$ ta có
$AE^2 + AC^2 = EC^2$
$ => AE^2 = EC^2 - AC^2$
$ => AE^2 = 6^2 - 3^2 = 36 -9 = 27$
$ => AE ≈ 5,196 (cm)$
( Số $5,196$ nếu làm tròn sẽ thành $5,2$ mà đề yêu cầu làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai nên
mình để số $5,196$ nha)
