3. Hy vọng em còn cần :v
Ta có $\Delta BMC$ vuông tại $M$
(do $BM\perp AC$)
Mà K là trung điểm BC
$\Rightarrow$ MK là đường trung tuyến của $\Delta BMC$
$\Rightarrow MK=\dfrac{1}{2}BC$ (1)
Ta có $\Delta BNC$ vuông tại $N$
(do $CN\perp AB$)
Mà K là trung điểm BC
$\Rightarrow$ NK là đường trung tuyến của $\Delta BNC$
$\Rightarrow NK=\dfrac{1}{2} BC$ (2)
Từ (1) và (2):
$\Rightarrow MK=NK$
$\Rightarrow \Delta KMN$ cân tại K
Mà E là trung điểm MN:
$\Rightarrow EK\perp MN$
4. Ta có H là trực tâm của $\Delta ABC$ (do BM và CN cắt nhau tại H)
$\Rightarrow AQ\perp BC$
Xét $\Delta CQA$ và $\Delta CMB$ có:
$\widehat{C}$ chung
$\widehat{CQA}=\widehat{CMB}=90°$
$\Rightarrow \Delta CQA \sim \Delta CMB$ (g.g)
$\Rightarrow \dfrac{CQ}{CM}=\dfrac{CA}{CB}$
$\Rightarrow CQ.CB=CM.CA$ (3)
Xét $\Delta BQA$ và $\Delta BNC$ có:
$\widehat{B}$ chung
$\widehat{BQA}=\widehat{BNC}=90°$
$\Rightarrow \Delta BQA \sim \Delta BNC$ (g.g)
$\Rightarrow \dfrac{BQ}{BN}=\dfrac{BA}{BC}$
$\Rightarrow BQ .BC=BN .BA $ (4)
Từ (3) và (4):
$\Rightarrow BN.BA+ CM.CA= BQ.BC+ CQ.CB$
Mà $BQ.BC= AB^2$
$CQ.CB=AC^2$
Theo định lý pytago: $BC^2=AB^2+AC^2$
$\Rightarrow BN.BA+CM.CA=BC^2$ (đpcm)
