a) $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$
$\Rightarrow \Delta ABC\bot A$
$\Delta ABO$ đều $\Rightarrow \widehat {ABC}=\widehat{ABO}=60^o$
$\widehat{ACB}=90^o-\widehat{ABC}=90^o-60^o=30^o$
b) Xét $\Delta$ vuông $BDO$ và $\Delta$ vuông $ EDO$ có:
$OD$ chung
$OB=OE$
$\Rightarrow \Delta$ vuông $BDO=$$\Delta$ vuông $ EDO$
$\Rightarrow \widehat{BOD}=\widehat{EOD}$
$\Rightarrow OD$ là phân giác của $\Delta $ cân $BOE$
$\Rightarrow OD$ cũng là đường cao $\Rightarrow OD\bot BE$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $BDO$ và $\Delta$ vuông $ BDC$ ta có:
$DB^2=DI.DO$
Và $BD^2=DA.DC$
$\Rightarrow DI.DO=DA.DC$
c) $EG\parallel DB$ ($\bot BC$)
$\Rightarrow \dfrac{EG}{DB}=\dfrac{KE}{KB}=\dfrac{KG}{KD}$ (*)
$GH\parallel BD$
$\Rightarrow \dfrac{GH}{DB}=\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CG}{CD}$ (**)
Gọi $K=DC\cap BE$
$\widehat{DBE}=\widehat{BEH}$ (cùng phụ $\widehat{EBH}$)
Mà $\widehat{DBE}=\widehat{DEB}$ ($\Delta DBE$ cân đỉnh $D$)
$\Rightarrow \widehat{BEH}=\widehat{DEB}$
$\Rightarrow EK$ là phân giác $\widehat{DEG}$ của $\Delta DEG$
$\Rightarrow \dfrac{DE}{EG}=\dfrac{DK}{KG}$ (1)
Mà $EK\bot EC$ ($\Delta BEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$)
$\Rightarrow EC$ là phân giác ngoài của $\widehat{DEG}$
$\Rightarrow \dfrac{DE}{EG}=\dfrac{DC}{GC}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \dfrac{DK}{KG}=\dfrac{DC}{GC}$
$\Rightarrow \dfrac{KG}{KD}=\dfrac{CG}{CD}$ (***)
Từ (*), (**) và (***) suy ra $\dfrac{EG}{DB}=\dfrac{GH}{DB}$
$\Rightarrow EG=GH\Rightarrow G$ là trung điểm của $EH$
$I$ là trung điểm của $BE$
$\Rightarrow IG$ là đường trung bình $\Delta BEH$
$\Rightarrow IG\parallel BH$
$\Rightarrow IG\parallel BC$ (đpcm).
