Do $KB;KA$ là hai tiếp tuyến đường tròn $(O)$
⇒ $\widehat{BAN} = \widehat{KBN} \bigg(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BN}\bigg)$ (1)
$\widehat{ABN} = \widehat{NAM}\bigg(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AN}\bigg)$
Xét $\Delta AMN$ và $\Delta BMA$ có:
$\widehat{AMB} : chung$
$\widehat{ABN} = \widehat{NAM}$ (cmt)
⇒ $\Delta AMN$ đồng dạng $\Delta BMA$ (g.g)
⇒ $\dfrac{AM}{BM} = \dfrac{MN}{AM}$ (Cạnh t/ứ)
⇒ $AM^2 = BM . MN$
Mà $AM = KM$ (Do $M$ là trung điểm của $AK$)
⇒ $KM^2 = BM.MN ⇔ \dfrac{KM}{BM} = \dfrac{MN}{KM}$
Xét $\Delta KMN$ và $\Delta BMK$ có:
$\widehat{KMN}: chung$
$\dfrac{KM}{BM} = \dfrac{MN}{KM}$
⇒ $\Delta KMN$ đồng dạng $\Delta BMK$ (C.gc)
⇒ $\widehat{DKA} = \widehat{NBK}$ (2)(Góc tương ứng)
Từ (1) và (2) ⇒$ \widehat{DKA} = \widehat{BDK}$
mà hai góc này ở vị trí SLT ⇒ $BD // AK$
