Giải thích các bước giải:
+Vì M là trung điểm BD và N là trung điểm BC
⇒ MN là đường trung bình của ΔDBC
⇒ MN \\ AC hay MN \\ AI (1)
+ Xét Δ vuông ABD có: AM là đường trung tuyến nên $AM=MD=BD=\dfrac{1}{2}BD$
Vì BD là phân giác ⇒ $\widehat{ABD}=30^0⇔\widehat{ADB}=60^0$
⇒ Δ AMD là Δ đều
+ Vì N là trung điểm BC và I là trung điểm DC
⇒ NI là đường trung bình của Δ BDC ⇒ NI\\MD
⇒$\widehat{NID}=\widehat{MDA}$ ( hai góc so le trong)
Hay $\widehat{NID}=\widehat{ADB}=60^0$
⇒$\widehat{NID}=\widehat{MAD}$ (2)
Từ (1) và ( 2) ⇒ tứ giác AMNI là hình thang cân.
b) $cos \widehat {ABD}=\dfrac{AB}{BD}$⇒ $BD=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
⇒$AM= NI=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
Δ BDC có: $BD= DC$⇒ΔBDC cân tại D⇒ $AD=MN=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
+ $AI= AD+ DI=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
