Đáp án:
Câu 2:
$a,m=\dfrac{4\sqrt{2022}+2022}{4+\sqrt{2022}}$
$b,m=6$
Câu 3:
$(x;y)=(3;1)$
Giải thích các bước giải:
Câu 2:
$x^2-mx-2m-4=0\,(1)$
$a,$ Phương trình nhận $x=2+\sqrt{2022}$ làm nghiệm
$⇒(2+\sqrt{2022})^2-m(2+\sqrt{2022})-2m-4=0$
$⇒4+4\sqrt{2022}+2022-m(4+\sqrt{2022})-4=0$
$⇒m(4+\sqrt{2022})=4\sqrt{2022}+2022$
$⇒m=\dfrac{4\sqrt{2022}+2022}{4+\sqrt{2022}}$
Vậy $x=2+\sqrt{2022}$ khi $m=\dfrac{4\sqrt{2022}+2022}{4+\sqrt{2022}}$
$b,$ Để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt: $Δ>0$
$⇔m^2-4(-2m-4)>0$
$⇔m^2+8m+16>0$
$⇔(m+4)^2>0$
$⇔m\ne -4$
Áp dụng định lí Vi-et: $\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-2m-4\end{cases}$
$x_2^2+2x_1x_2+mx_1=20$
$⇔x_2^2+2x_1x_2+(x_1+x_2)x_1=20$
$⇔x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=20$
$⇔(x_1+x_2)^2+x_1x_2=20$
$⇔m^2+(-2m-4)=20$
$⇔m^2-2m-24=0$
$⇔(m-6)(m+4)=0$
$⇔\left[ \begin{array}{l}m=6\\m=-4\,(Loại)\end{array} \right.$
Vậy $m=6$.
Câu 3:
ĐKXĐ: $y\ge 0;\,x-2y\ge 0$
$\begin{cases}x^2+2xy=15y^2\,(1)\\\sqrt{x-2y}+\sqrt{y}=2\,(2)\end{cases}$
$(1)⇔x^2+2xy=15y^2$
$⇔x^2+2xy+y^2=16y^2$
$⇔(x+y)^2=(4y)^2$
$⇔\left[ \begin{array}{l}x+y=4y\\x+y=-4y\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}x=3y\\x=-5y\end{array} \right.$
TH1: $x=3y$ thay vào $(2)$:
$\sqrt{3y-2y}+\sqrt{y}=2$
$⇔\sqrt{y}+\sqrt{y}=2$
$⇔2\sqrt{y}=2$
$⇔y=1\,(TM)⇒x=3$
TH2: $x=-5y$
Thay vào ĐK: $-5y-2y\ge 0⇔-7y\ge 0$
$⇒$ Không thoả mãn (Vì $y\ge 0$)
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y)=(3;1)$.
