Ta thấy mỗi phần tử trong căn có dạng
$1 + \dfrac{8n^2 - 1}{(2n-1)^2(2n+1)^2}$
Ta sẽ biến đổi biểu thức này. Ta có
$1 + \dfrac{8n^2 - 1}{(2n-1)^2(2n+1)^2} = \dfrac{(4n^2-1)^2 + 8n^2 - 1}{(4n^2-1)^2}$
$= \dfrac{16n^4 - 8n^2 + 1 + 8n^2 - 1}{(4n^2-1)^2}$
$= \dfrac{16n^4}{(4n^2-1)^2}$
Suy ra
$\sqrt{1 + \dfrac{8n^2 - 1}{(2n-1)^2(2n+1)^2}} = \sqrt{\dfrac{16n^4}{(4n^2-1)^2}} = \dfrac{4n^2}{4n^2-1}$
$= \dfrac{4n^2 - 1 + 1}{4n^2-1}$
$= 1 + \dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
$= 1 + \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2n-1} - \dfrac{1}{2n+1} \right)$
Số số hạng của $S$ là 1010, do đó ta có
$S = 1 \times 1010 + \dfrac{1}{2} \left( 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \cdots + \dfrac{1}{2019} - \dfrac{1}{2021} \right)$
$= 1010 + \dfrac{1}{2} \left( 1 - \dfrac{1}{2021} \right)$
$= 1010 + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2020}{2021}$
$= 1010 + \dfrac{1010}{2021}$
Vậy
$S = 1010 + \dfrac{1010}{2021}$
