b,
Kẻ $AH\bot SB$
$BC\bot (SAB)\to BC\bot AH$
Suy ra $AH\bot (SBC)$
$\to (AB,(SBC))=(AB,BH)=(AB,SB)$
$\Delta SAB$ vuông tại $A$ ($SA\bot(ABC)\to SA\bot AB$) có:
$\tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=\sqrt3$
$\to \widehat{SBA}=60^o$
Vậy $(AB,(SBC))=60^o$
b,
$\Delta ABC$ vuông cân tại $B$
$\to AC=a\sqrt2$
$\Delta SAC$ vuông tại $A$ có:
$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=a\sqrt5$
$\vec{SC}.\vec{AB}=\vec{AB}(\vec{SA}+\vec{AC})=\vec{AB}.\vec{SA}+\vec{AB}.\vec{AC}=\vec{AB}.\vec{AC}$
$= a.a\sqrt2\cos45^o=a^2$
$\to \cos(\vec{SC},\vec{AB})=\dfrac{a^2}{a.a\sqrt5}=\dfrac{1}{\sqrt5}$
Vậy $(SC,AB))=\arccos\dfrac{1}{\sqrt5}$
d,
Kẻ $MN//SA$
$SA\bot AB\to MN\bot AB$
Kẻ $MQ//BC$
$BC\bot AB\to MQ\bot AB$
$\to AB\bot(MNQ)$
Suy ra $(\alpha)$ là $(MNQ)$
Kẻ $NP//BC$
$\to (MNQ)\cap (SBC)=NP$ vì $MQ//BC$
$BC\bot (SAB)\to (SAB)\bot(ABC)$
Mà $(SAB)\cap (ABC)=AB, NM\bot AB$
Suy ra $MN\bot (ABC)$
$\to MN\bot MQ$
$(MNPQ)\bot AB\to PQ\bot AB$
Mà $AB\bot SA$ nên $PQ//SA$
Mà $MN//SA$ nên $PQ//MN$
Tứ giác $MNPQ$ có $NP//MQ$, $MN//PQ$, $\widehat{NMQ}=90^o$
Vậy thiết diện là hình chữ nhật $MNPQ$
$MN//BC\to \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MQ}{BC}$
$\to MQ=x$
$MN//SA\to \dfrac{NM}{SA}=\dfrac{BM}{AB}$
$\to NM=a\sqrt3.\dfrac{ a-x}{a}=\sqrt3(a-x)$
$\to S_{MNPQ}=- \sqrt3.x(x- a)=-\sqrt3x^2+a\sqrt3 x$
