`x^2-mx-m-1=0` `(1)`
`a)` `Delta=(-m)^2-4.1.(-m-1)`
`=m^2+4m+4`
`=(m+2)^2\geq0∀m∈RR`
Để phương trình `(1)` có 2 nghiệm phân biệt thì: `Delta>0`
`<=>(m+2)^2>0`
`=>m+2\ne0`
`<=>m\ne-2`
Vậy khi `m\ne-2` thì phương trình `(1)` có 2 nghiệm phân biệt
`b)` Theo phần a, khi `m\ne-2` thì phương trình `(1)` có 2 nghiệm phân biệt
Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=m(2)\\x_1x_2=-m-1(3)\end{cases}$
Lại có: `|x_1-x_2|\geq3`
`<=>(x_1-x_2)^2\geq3^2`
`<=>x_1^2-2x_1x_2+x_2^2\geq9`
`<=>x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2-2x_1x_2\geq9`
`<=>(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\geq9` `(4)`
Thế `(2)` và `(3)` vào `(4)` ta có:
`m^2-4(-m-1)\geq9`
`<=>m^2+4m+4\geq9`
`<=>m^2+4m-5\geq0`
`<=>m^2+5m-m-5\geq0`
`<=>m(m+5)-(m+5)\geq0`
`<=>(m-1)(m+5)\geq0`
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}m-1\geq0\\m+5\geq0\end{cases}\\\begin{cases}m-1\leq0\\m+5\le0\end{cases}\end{array} \right.\)`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}m\geq1\\m\geq-5\end{cases}\\\begin{cases}m\le1\\m\leq-5\end{cases}\end{array} \right.\) `<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m\geq1\\m\leq-5\end{array} \right.\)
Kết hợp với điều kiện ta được: `m\ne2;m\geq1;m\leq-5` thì phương trình `(1)` có 2 nghiệm phân biệt `x_1;x_2` thoả mãn `|x_1-x_2|\geq3`
