Đáp án: m=2 hoặc m=-9/8.
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
y = - {x^3} + 2\left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {3m + 1} \right)x - 2m\\
\Rightarrow y' = - 3{x^2} + 4\left( {m - 1} \right).x + \left( {3m + 1} \right)\\
\Rightarrow 3{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x - \left( {3m + 1} \right) = 0\left( * \right)
\end{array}$
Hai điểm cực trị là 2 nghiệm của pt (*)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \Delta ' > 0\\
\Rightarrow 4{\left( {m - 1} \right)^2} + 3.\left( {3m + 1} \right) > 0\\
\Rightarrow 4{m^2} - 8m + 4 + 9m + 3 > 0\\
\Rightarrow 4{m^2} + m + 7 > 0\left( {luon\,dung} \right)\\
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{4\left( {m - 1} \right)}}{3}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{ - 3m - 1}}{3}
\end{array} \right.\\
Do:x_1^2 + x_2^2 = \dfrac{{58}}{9}\\
\Rightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = \dfrac{{58}}{9}\\
\Rightarrow \dfrac{{16{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{9} + 2.\dfrac{{3m + 1}}{3} = \dfrac{{58}}{9}\\
\Rightarrow 16{m^2} - 32m + 16 + 6\left( {3m + 1} \right) - 58 = 0\\
\Rightarrow 16{m^2} - 14m - 36 = 0\\
\Rightarrow \left( {2m - 4} \right)\left( {8m + 9} \right) = 0\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = - \dfrac{9}{8}
\end{array} \right.\left( {tmdk} \right)
\end{array}$
Vậy m=2 hoặc m=-9/8.
