Giải thích các bước giải:
$a)D$ đối xứng với $H$ qua $AB$
$\Rightarrow AB$ là trung trực $DH$
$\Rightarrow DA=HA$
$\Rightarrow \Delta DAH$ cân tại $A$
$\Delta DAH$ cân tại $A, AM$ vừa là trung trực vừa là phân giác
$\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2}$
Chứng minh tương tự, $\Delta EAH cân tại A, \widehat{A_3}=\widehat{A_4}$
$\widehat{DAE}= \widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{A_3}+\widehat{A_4}\\ =2\widehat{A_2}+2\widehat{A_3}\\ =2(\widehat{A_2}+\widehat{A_3})\\ =180^\circ$
$\Rightarrow D,A,E$ thẳng hàng$(1)$
$DA=HA, EA=HA\\ \Rightarrow DA=EA(2)$
$(1)(2) \Rightarrow A$ là trung điểm $DE$
$b)AB$ là trung trực $DH$
$\Rightarrow AB \perp DH$
Tương tự $AC \perp EH$
$AMHN có \widehat{MAN}=\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90^\circ$
$\Rightarrow AMHN$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow MN=AH$
$c)\Rightarrow AB$ là trung trực $DH$
$\Rightarrow DA=HA; DB=HB$
Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AHB$
$AB:$ chung
$DB=HB\\ AD=AH\\ \Rightarrow \Delta ADB = \Delta AHB\\ \Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{AHB}=90^\circ(3)$
Chứng minh tương tự, $\Delta AEC = \Delta AHC$
$\Rightarrow \widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^\circ(4)\\ (3)(4) \Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^\circ \Leftrightarrow\widehat{BDE}=\widehat{DEC}=90^\circ $
$\Rightarrow BDEC$ là hình thang vuông tại $D,E$
$d)BC=HB+HC=BD+CE$
