Giải thích các bước giải:
a, ΔMNP cân tại M ⇒ $\widehat{MNP}$ = $\widehat{MPN}$
NE, PF là phân giác $\widehat{MNP}$, $\widehat{MPN}$
⇒ $\widehat{PNE}$ = $\widehat{NPF}$
ΔPNE và ΔNPF có:
PN chung; $\widehat{epn}$ = $\widehat{FNP}$; $\widehat{PNE}$ = $\widehat{NPF}$
⇒ ΔPNE = ΔNPF (g.c.g) ⇒ NE = PF (đpcm)
b, Xét 2 tam giác vuông ΔIHN và ΔIQN có:
IN chung; $\widehat{INH}$ = $\widehat{INQ}$
⇒ ΔIHN = ΔIQN (c.h-g.n)
⇒ IH = IQ
⇒ ΔIHQ cân ⇒ $\widehat{IHQ}$ = $\widehat{IQH}$ (đpcm)
Chứng minh tương tự ta có IK = IQ
⇒ IH = IK ⇒ ΔIHK cân tại I (đpcm)
c, ΔPNE = ΔNPF (g.c.g) ⇒ NF = PE mà NM = PM
⇒ NM - NF = PM - PE
⇒ MF = ME ⇒ ΔMEF cân tại M
⇒ $\widehat{MFE}$ = $\frac{180^o-\widehat{M}}{2}$
ΔMNP cân tại M ⇒ $\widehat{MNP}$ = $\frac{180^o-\widehat{M}}{2}$
⇒ $\widehat{MFE}$ = $\widehat{MNP}$
⇒ EF ║ NP (đpcm)
d, ΔMNP cân tại M có $\widehat{NMP}$ = $60^o$
⇒ ΔMNP đều
⇒ $\widehat{FNP}$ = $60^o$; $\widehat{FPN}$ = $30^o$
⇒ $\widehat{NFP}$ = $90^o$ hay PF ⊥ MN
⇒ F trùng H
Tương tự ta có E trùng K
ΔIQN = ΔIQP (cạnh góc vuông - góc nhọn)
⇒ QN = QP hay Q là trung điểm của NP
ΔHNP vuông tại H có HQ là trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ HQ = NP : 2
ΔKNP vuông tại K có KQ là trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ KQ = NP : 2
ΔPHM = ΔPHN (c.g.c) ⇒ FN = FM = MN : 2 = NP : 2
ΔMEF cân tại M có $\widehat{EMF}$ = $60^o$ nên là tam giác đều
⇒ EF = FM = FN = NP : 2
⇒ EF = HQ = KQ mà F trùng H, E trùng K
⇒ HK = HQ = KQ
⇒ ΔHQK đều
