Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a). Ta có : $\triangle$ ABC cân tại A (AB = AC)
⇒ $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$
Lại có $\triangle$ MBC cân tại M (MB = MC)
$\Rightarrow$ $\widehat{MBC}$ = $\widehat{MCB}$
$\Rightarrow$ $\widehat{ABC}$ - $\widehat{MBC}$ = $\widehat{ACB}$ - $\widehat{MCB}$
(vì tia BM nằm giữa hai tia BA và BC, tia MC nằm giữa hai tia CB và CA)
hay: $\widehat{ABM}$ = $\widehat{ACM}$
Xét $\triangle$ ABM và $\triangle$ ACM có :
$\begin{cases} AM:chung\\AB=AC (GT)\\ \widehat{ACM} = \widehat{ABM}(cmt)\ \end{cases}$
$\Rightarrow$ $\triangle$ ABM = $\triangle$ ACM (c.g.c)
$\Rightarrow$ $\widehat{BAM}$ = $\widehat{CAM}$ (2 góc tương ứng)
Mà tia AM nằm giữa hai tia AB và AC $\Rightarrow$ AM là tia phân giác $\widehat{BAC}$ (đpcm) (1)
b). Xét $\triangle$ ANB và $\triangle$ ANC có
$\begin{cases} AN:chung\\NB=NC (GT)\\ \\AB = AC (GT)\ \end{cases}$
$\Rightarrow$ $\triangle$ ANB = $\triangle$ ANC (c.c.c)
$\Rightarrow$ $\widehat{BAN}$ = $\widehat{CAN}$ (2 góc tương ứng)
Mà tia AN nằm giữa hai tia AB và AC $\Rightarrow$ AN là tia phân giác $\widehat{BAC}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ AM trùng AN hay A,M,N thẳng hàng (đpcm)
c). Xét: $\triangle$ MNB và $\triangle$ MNC có
$\begin{cases} MB=MC(GT)\\BN=NC \\ \widehat{MBN} = \widehat{MCN}(cmt)\ \end{cases}$
$\Rightarrow$ $\triangle$ MNB = $\triangle$ MNC (c.g.c)
$\Rightarrow$ $\widehat{MNB}$ = $\widehat{MNC}$
và $\widehat{MNB}$ + $\widehat{MNC}$ = `180^o`
hay $\widehat{MNB}$ = $\widehat{MNC}$ = $\frac{180^o}{2}$ = `90^o`
hay MN vuông góc với BC và BN = NC Hay MN là trung trực BC (đpcm)
