Đáp án:
$\begin{array}{l}
a)Xet: - {x^2} = 2x + m - 1\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2x + m - 1 = 0\\
Khi:m = - 2\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 2 - 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \Leftrightarrow y = - {x^2} = - 1\\
x = - 3 \Leftrightarrow y = - {x^2} = - 9
\end{array} \right.\\
Vay\,khi:m = - 2;\left( d \right) \cap \left( P \right):\left( {1; - 1} \right);\left( { - 3; - 9} \right)
\end{array}$
b) Chúng cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì pt hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt
$\begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
\Leftrightarrow 1 - m + 1 > 0\\
\Leftrightarrow m < 2\\
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - 2\\
{x_1}{x_2} = m - 1
\end{array} \right.\\
Khi:x_1^3 - x_2^3 + {x_1}{x_2} = 4\\
\Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) + m - 1 = 4\\
\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} .\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right] + m - 5 = 0\\
\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} .\left( {4 - m + 1} \right) + m - 5 = 0\\
\Leftrightarrow \sqrt {4 - 4\left( {m - 1} \right)} + \left( {5 - m} \right) + m - 5 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {m - 5} \right).\left( {1 - \sqrt {4 - 4m + 4} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 5\left( {ktm} \right)\\
\sqrt {8 - 4m} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow 2\sqrt {2 - m} = 1\\
\Leftrightarrow \sqrt {2 - m} = \dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow 2 - m = \dfrac{1}{4}\\
\Leftrightarrow m = \dfrac{7}{4}\left( {tmdk} \right)\\
Vậy\,m = \dfrac{7}{4}
\end{array}$
