Ta có: \(B = \frac{{18n + 3}}{{21n + 7}}\) là phân số tối giản \( \Leftrightarrow 18n + 3\) và là hai số nguyên tố cùng nhau hay chúng có ước chung là \(1.\)
Gọi ước chung của \(18n + 3\) và \(21n + 7\) là \(d\,\,\,\left( {d \ne 0} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}18n + 3\,\, \vdots \,\,d\\21n + 7\,\, \vdots d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {6n + 1} \right)\,\,\, \vdots \,\,d\\7\left( {3n + 1} \right)\,\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\)
Mà \(3,\,\,7\) là các số nguyên tố cùng nhau.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6n + 1\,\, \vdots \,\,d\\3n + 1\,\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6n + 1\,\, \vdots \,\,d\\6n + 2\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {6n + 2} \right) - \left( {6n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\,d\\ \Rightarrow 6n + 2 - 6n - 1\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow 1\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow d = 1.\end{array}\)
\( \Rightarrow 18n + 3\) và \(21n + 7\) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Vậy \(B = \frac{{18n + 3}}{{21n + 7}}\) là phân số tối giản.
