Đáp án: $ GTLN$ của $G = \frac{3}{2} ⇔ a = b = c = \frac{1}{3}$
Giải thích các bước giải:
$ gt: a + b + c = 1$
$ ⇒ a + bc = a.1 + bc = a(a + b + c) + bc$
$ = a² + ab + bc + ca = (a + b)(c + a)$
Tương tự :
$ b + ca = (b + c)(a + b); c + ab = (c + a)(b + c)$
Áp dụng $BĐT : xy ≤ \frac{1}{2}(x² + y²) $ ta có:
$G = \frac{a}{\sqrt[]{(a + b)(c + a)}} + \frac{b}{\sqrt[]{(b + c)(a + b)}} + \frac{c}{\sqrt[]{(c + a)(b + c)}} $
$ = \sqrt[]{\frac{a}{a + b}}.\sqrt[]{\frac{a}{c + a}} + \sqrt[]{\frac{b}{b + c}}.\sqrt[]{\frac{b}{a + b}} + \sqrt[]{\frac{c}{c + a}}.\sqrt[]{\frac{c}{b +c}} $
$ ≤ \frac{1}{2}(\frac{a}{a + b} + \frac{a}{c + a}) + \frac{1}{2}(\frac{b}{b + c} + \frac{b}{a + b}) + \frac{1}{2}(\frac{c}{c + a} + \frac{c}{b + c}) $
$ = \frac{1}{2}(\frac{a + b}{a + b} + \frac{b + c}{b + c} + \frac{c + a}{c + a}) = \frac{3}{2} $
Vậy $ GTLN$ của $G = \frac{3}{2} ⇔ a = b = c = \frac{1}{3}$
