Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Tìm mãi mới ra điểm rơi @@
Ta có: $(x+y)^2+\dfrac{2}{3}(x+y) \geq 2\sqrt{\dfrac{2(x+y)^3}{3}}$
Nên ta chỉ cần chứng minh: $2\sqrt{\dfrac{2(x+y)^3}{3}} \geq \dfrac{4\sqrt{3}}{3}(x\sqrt{y}+y\sqrt{x})$
$⇔(x+y)^3 \geq 2(x\sqrt{y}+y\sqrt{x})^2$
$⇔x^3+y^3+3x^2y+3xy^2 \geq 2x^2y+2xy^2+4xy\sqrt{xy}$
$⇔x^3+y^3+x^2y+xy^2 \geq 4\sqrt{(xy)^3}$
Theo AM-GM:
$x^3+y^3+x^2y+xy^2 \geq 4\sqrt[4]{x^6y^6}=4\sqrt{(xy)^3}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{3}$
