$\lim\limits_{x\to -1}\quad \dfrac{x^5+1}{x^3+1}$
$=\lim\limits_{x\to -1}\quad \dfrac{(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)}$
$=\lim\limits_{x\to -1}\quad \dfrac{x^4-x^3+x^2-x+1}{x^2-x+1}$
$=\dfrac{(-1)^4-(-1)^3+(-1)^2-(-1)+1}{(-1)^2-(-1)+1}=\dfrac53$
