CHÚC BẠN HỌC TỐT !!!!!!!!!!!
Đáp án:
`T_{max} = 51/8`
Giải thích các bước giải:
`T = 59/2 xy - (2x^2 - 3y)(2y^2 - 3x)`
`= 59/2 xy - [4(xy)^2 - 6x^3 - 6y^3 + 9xy]`
`= 59/2 xy - [4(xy)^2 - 6(x + y)(x^2 - xy + y^2) + 9xy]`
`= 59/2 xy - {4(xy)^2 - 6.1.[(x + y)^2 - 3xy] + 9xy}`
`= 59/2 xy - [4(xy)^2 - 6(1 - 3xy) + 9xy]`
`= 59/2 xy - [4(xy)^2 - 6 + 18xy + 9xy]`
`= 59/2 xy - 4(xy)^2 + 6 - 27xy`
`= - 4(xy)^2 + 5/2 xy + 6`
`= - 4(xy)^2 + 2. 5/8 .2xy - 25/64 + 25/64 + 6`
`= - (2xy - 5/8)^2 + 409/64`
`= - 4(xy - 5/16)^2 + 409/64`
Với $x,y$ là các số không âm thỏa mãn $x + y = 1$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si:
`{x + y}/2 \ge \sqrt{xy}`
`<=> \sqrt{xy} \le {x + y}/2 = 1/2`
`<=> 0 \le xy \le 1/4`
`<=> - 5/16 \le xy - 5/16 \le 1/4 - 5/16 = - 1/16 < 0`
`=> (xy - 5/16)^2 \ge (1/16)^2 = 1/256`
`=> - 4(xy - 5/16)^2 \le - 1/64`
`=> T \le - 1/64 + 409/64 = 408/64 = 51/8`
Dấu `"="` xảy ra khi `x = y = 1/2`
Vậy `T_{max} = 51/8` khi `x = y = 1/2 .`
